Matematické Fórum

APavlat · 24. 04. 2012 19:08

Dobrý den,
řeším zde jeden příklad ke státní maturitě a potřeboval bych vědět, zda-li je tento výsledek korektní.

Zadání: Pro všechna $n\in \mathbb{N}$ platí:

$s_{n}=\frac{1+\sin ^{2}\alpha +\sin ^{4}\alpha +...(\sin\alpha )^{2(n-1)}}{1+\cos ^{2}\alpha +\cos ^{4}\alpha +...(\cos\alpha )^{2(n-1)}}$

Pro $\alpha \in \mathbb{R}$ vypočtěte $\lim_{n\to\infty }s_{n}$ a stanovte podmínky existence.

Tak jsem si řekl, že v čitateli i jmenovateli vidím nekonečnou řadu, protože $2(n-1) \text{ při }n_{\infty }=\infty$ . Kvocienty jsou? v čitateli $q_{1}=\sin ^{2}\alpha$ a ve jmenovateli $q_{2}=\cos ^{2}\alpha$ .

A tak dosadím do součtu
$S_{n}=\frac{\frac{1}{1-\sin ^{2}\alpha }}{\frac{1}{1-\cos ^{2}\alpha }}=\frac{1-\cos ^{2}\alpha }{1-\sin ^{2}\alpha }=\frac{\sin ^{2}\alpha }{\cos ^{2}\alpha }=\text{tg}^{2}\alpha$
+ podmínky, tedy výsledek je $\text{tg}^{2}\alpha \text{, pro }\alpha\not =\frac{\pi }{2}+k\pi \text{ ; }k\in \mathbb{Z}$

Na tomto příkladu mě zaráží, že se v možnostech toleruje odpověď ,,Žádná z uvedených možností není správná.", nicméně správně by mělo být i moje řešení. Nenašel by se prosím někdo, kdo by to projel a upozornil mě na případné chyby? Děkuji.

smatel · 24. 04. 2012 19:18

Ahoj,
taky jsem to počítal, a můj postup i výsledek byl stejný.
Proč má tolerovaná "Žádná z uvedených možností není správná" mě taktéž zaráží, možná jestli to není ta počáteční podmínka:

Pro $\alpha \in \mathbb{R}$ vypočtěte limitu $\lim_{n\to\infty }s_{n}$ .

Neboť jsme vypočítali limitu, která ale nemá smysl pro všechna $\alpha \in R$ tj. nelze nalézt limitu pro všechny hodnoty alpha z R... (nevím, to je jediné co mě napadlo)

Každopádně mě toto taktéž zajímá.

Rumburak

↑ APavlat:, ↑ smatel:

Zdravím vás, pánové. Tato úloha potřebuje důkladnější diskusi.

I. Případ $0 < |\sin \alpha| < 1$ , tedy rovněž $0 < |\cos \alpha| < 1$ atd. :

Řada v čitateli i řada ve jmenovateli konvergují ke konečným nenulovým součtům a platný je výsledek $s_n \to \tan^2\alpha$ dle ↑ APavlat:.

II. Případ $0 = \sin \alpha$ , tedy $|\cos \alpha| = 1$ :

Pak jmenovatel má limitu $+\infty$ a čitatel je omezený kladný, tedy $s_n \to 0$ .
I zde můžeme říci $s_n \to \tan^2\alpha$ , protože z předpokladu $0 = \sin \alpha$ zároveň plyne $\tan \alpha = 0$ .

III. Případ $|\sin \alpha| = 1$ , tedy $\cos \alpha = 0$ :

Pak čitatel má limitu $+\infty$ a jmenovatel je omezený kladný, tedy $s_n \to +\infty$ .

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2012 19:08

Součet nekonečné řady

#2 24. 04. 2012 19:18

Re: Součet nekonečné řady

#3 24. 04. 2012 21:08 — Editoval Rumburak (24. 04. 2012 21:26)

Re: Součet nekonečné řady

Zápatí