Matematické Fórum

Andrejka3

Dobrý den.
Příklad 195 sbírky:
Dokažte, že pro $k>1$ je $\mathbb{Z}^*_{2^{k}} \cong \mathbb{Z}_{2^{k-2}} \times \mathbb{Z}_2$ .
Návod (skrývám, ale pracuji s ním dále)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Mám ústřední myšlenku. Ale zatím mi nejde nic ověřit.
Kdyby prvek 5 byl řádu $2^{k-2}$ a -5 rovněž a pokud by tyto dvě cyklické podgrupy nebyly totožné, pak by celá grupa nemohla být cyklická, neboť každá cyklická grupa obsahuje nejvýše jednu podgrupu jistého řádu. Protože $|\mathbb{Z}^*_{2^{k}}|=2^{k-1}$ , a prvek s maximálním řádem má řád $2^{k-2}$ , musí být (Frobenius-Stickelberger aneb klasifikace konečných komutativních grup) $\mathbb{Z}^*_{2^{k}}=\langle 5 \rangle H$ (H je nějaký maximální prvek z uspořádané množiny všech podgrup jež mají triviální průnik s $\langle 5 \rangle$ ), kde pak ostatní by už bylo jasné, totiž např. $H=\langle -1 \rangle$ a z toho již plyne dokazované.
Myslíte si, že to někam vede? Budu to dál zkoušet.

vanok · 25. 04. 2012 00:46 — Editoval vanok (25. 04. 2012 11:30)

Ahoj ↑ Andrejka3:,

Mala uzitocna myslienka:
Da sa dokazat, napriklad indukciou, ze
$5^{2^k}= 1 +c_k \cdot 2^{k+2}$ kde k je neparne.

Poznamka: tvoj problem ma suvis z $Aut Z/nZ$

Andrejka3 · 25. 04. 2012 09:02

↑ vanok:
Díky za odpověď!

Andrejka3 · 25. 04. 2012 10:06

↑ vanok:
$5^{2^k}= 1 +k \cdot 2^{k+2}$
Vezmu k=3:
pravá strana je
$1+3\cdot 2^5=1+3\cdot 32=97$ , to není násobek 5.

Andrejka3

Ale asi k je myšleno jako nějaké celé číslo, že...
edit: Pro každé k>2 existuje $c_k \in \mathbb{Z}$ , že
$5^{2^k}= 1 +c_k \cdot 2^{k+2}$ (?)
k=1:
$25=1+24=1+3 \cdot 2^3$
Indukce: platí-li vztah (?) pro libovolné $1 \le n \le k$ , pak
$5^{2^{k+1}}=(5^{2^k})^2=(1 +c_k \cdot 2^{k+2})^2=(1+c_k \cdot 2^{k+3}+c_k^2 \cdot 2^{k+3+k+1})=(1+(c_k+c_k^2 \cdot 2^{k+1})2^{k+3})$ .
Odtud plyne, že $\langle 5 \rangle$ je nejvýše řádu $2^{k-2}$ . Ještě musím dokázat, že není řádu menšího.
Aha, ale protože je $c_{k+1}=c_k(1+c_k\cdot 2^{k+1})$ a $c_1=3$ je liché, pak indukcí je číslo v závorce liché a násobím ho číslem lichým. Odtud, $\langle 5 \rangle$ nemůže být řádu menšího než $2^{k-2}$ .

Protože $\langle -5 \rangle$ musí být dle Lagrange věty sudého řádu, je díky vztahu výše:
$(-5)^{2^k}=5^{2^k}$ stejného řádu.
Zbývá ukázat, že $\langle -5 \rangle \neq \langle 5 \rangle$ EDIT: to je část, která se mi nepovedla.
Označme $-5=a, \;b=5$ .
Je $\forall n \text{ sudé }a^n=b^n$ a $e \neq a \neq b \neq e$
Kdybychom předpokládali, že
$a \in \langle b \rangle$ pak existuje číslo $l \in \{1, \ldots , 2^{k-2}-1\}$ tak, že
$a = b^l=b^{n+1}=a^nb$ , kde n je sudé.
Kdyby totiž l bylo sudé, pak rovnice po umocnění na 2^{k-3} by dala spor.
$a^2=b^{2n+2}=b^{2n}a^2$ , proto $b^{2n}=e$ odtud $n=2^{k-3}$ . To je spor s tím, (EDIT: blbost, mam tu chybu) že je liché! Nebo s tím, že $a \neq b$ .

Edit: Zajímalo by mě, ze zvědavosti, zda lze něco podobného říci o grupách $\mathbb{Z}^*_{p^k}$ , kde p je prvočíslo.

vanok · 25. 04. 2012 11:29 — Editoval vanok (25. 04. 2012 14:27)

↑ Andrejka3:

mas pravdu, ze moje nocne oznacenie dalo zrasku,tvoje $c_k$ je dokonale.

poznamky
pre k=0
mame
$(Z/2Z)^* = \{1 \}$

a pre k=2
$(Z/4Z)^*isom Z/2Z$
(a pre $k \ge 3$ ,grupa $(Z/2^kZ)$ nie je cyklicka)
.................

Pre $k\ge 2$ uvazujme surjetivny homomorfismus
$\omega : (Z/2^kZ)^* ---> (Z/4Z)^*$ pre $k \ge 2$

Jeho jadro $N=ker \omega$ ma $2^{k-2}$ prvkov a $5 \in N$ ma rad $2^{k-2}$ ,( vdaka tomuto)
ako si to aj ty dokazala vdaka mojej indikacii....( ktora inac plati pre $k \ge 1$ )
a preto $N$ je cyklicka groupa

Teraz staci najst ( v sulade co som pripomenul v inej teme a produktoch grup)
exaktne schema... DOPLNIT

ktore vdaka komutativite grupy $(Z/2^kZ)^*$ da priamy sucin grup..... DOPLNIT

edit: pridal som niekolko presnosti

vanok · 25. 04. 2012 11:41

Posledna otazka ↑ Andrejka3:, co si napisala:
Ano mame
$\mathbb{Z}^*_{p^k}isom Z/p^{k-1}(p-1)Z$
Skus to dokazat...ak mas na to cas.
A aj vseobecne sa da vyjadrit ( Z/nZ)^* vdaka znamym isomorfzmom...

A to nam tiez da, odpoved na poznamku, co som pisal vyssie $Aut (Z/nZ)$
↑ vanok:

....presnejsie to ti da odpoved na ich pocet.

Andrejka3

↑ vanok:
Díky za poznámky, nejspíš se k nim vrátím, ale později.
Vypadají poněkud šířeji použitelné než ten můj speciální způsob důkazu.
edit: Takže ne nejspíš, ale rozhodně, vzhledem k tomu, že to nabízí odpovědi na širší úlohu.
edit: Mám tam chybu :( - část, že $\langle 5 \rangle \neq \langle -5 \rangle$ není dokázaná.

vanok · 25. 04. 2012 14:03 — Editoval vanok (25. 04. 2012 14:30)

↑ Andrejka3:
Ale v dokaze, co som ti naznacil to nie je potrebne....

v ↑ vanok: som pridal niekolko presnosti a vecer mozem, ak chces doplnit tie doplnky co som nechal na teba

Andrejka3

↑ vanok:

a pre $k \ge 3$ ,grupa $(Z/2^kZ)$ nie je cyklicka

Myšleno $(Z/2^kZ)^*$ že?

Pre $k \ge 2$ uvazujme surjetivny homomorfismus $\omega : (Z/2^kZ)^* ---> (Z/4Z)^*$
Jak je ale definovaný?
$a \mapsto a \mod 4$ ?
Dobrá. Vím, že $\mathrm{Ker} \: \omega=\langle 5 \rangle$ .
$\mathbb{Z}^*_{2^k}/(\mathrm{Ker}\: \omega) \cong \mathrm{Im}\: \omega \cong \mathbb{Z}_2$ ?

vanok · 25. 04. 2012 19:03

↑ Andrejka3:,
Ano mas pravdu, ide o $(Z/2^kZ)^*$
preklep opraveny

Andrejka3 · 26. 04. 2012 09:54

Nevím si rady.

vanok · 26. 04. 2012 10:33 — Editoval vanok (26. 04. 2012 10:39)

↑ Andrejka3:
Tak tie doplnky ↑ vanok:

toto je to exaktne schema

$1---> Z/2^{k-2}Z ---> (Z/2^kZ)^* --\omega-> (Z/4Z)^* ---> 1$

vdaka ↑ Andrejka3:
$\mathbb{Z}^*_{2^k}/(\mathrm{Ker}\: \omega) \cong \mathrm{Im}\: \omega \cong \mathbb{Z}_2$

Akoze naviac $(Z/2^kZ)^*$ je komutativna, tu tento semi-direct product je direktny

cize $\mathbb{Z}^*_{2^{k}} \cong \mathbb{Z}_{2^{k-2}} \times \mathbb{Z}_2$

Andrejka3 · 26. 04. 2012 10:35

↑ vanok:
Aha, to byla zrovna ta část o semidirektním produktu, kterou jsem nechápala.
Díky.
Pak to tedy odložím.

Matematické Fórum

#1 24. 04. 2012 23:30 — Editoval Andrejka3 (24. 04. 2012 23:33)

Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#2 25. 04. 2012 00:46 — Editoval vanok (25. 04. 2012 11:30)

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#3 25. 04. 2012 09:02

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#4 25. 04. 2012 10:06

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#5 25. 04. 2012 10:10 — Editoval Andrejka3 (25. 04. 2012 12:40)

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#6 25. 04. 2012 11:29 — Editoval vanok (25. 04. 2012 14:27)

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#7 25. 04. 2012 11:41

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#8 25. 04. 2012 11:47 — Editoval Andrejka3 (25. 04. 2012 12:41)

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#9 25. 04. 2012 14:03 — Editoval vanok (25. 04. 2012 14:30)

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#10 25. 04. 2012 15:10 — Editoval Andrejka3 (25. 04. 2012 15:40)

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#11 25. 04. 2012 19:03

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#12 26. 04. 2012 09:54

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#13 26. 04. 2012 10:33 — Editoval vanok (26. 04. 2012 10:39)

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

#14 26. 04. 2012 10:35

Re: Rozklad grupy Z*_{2^k} na soucin cyklickych grup

Zápatí