Matematické Fórum

KaiserS · 25. 04. 2012 14:23

Ahoj,

prosil bych o pomoc s výpočtem této diferenciální rovnice mocninnou řadou.
Předem díky za rady.

Štěpán

$y''-xy'+2y=0 \\y(0)=1\\y'(0)=0$

Rumburak

↑ KaiserS:
Ahoj.

To se dělá tak, že se položí

(1) $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n$ .

Střed řady volíme shodně s bodem, v němž jsou stanoveny počáteční podmínky Cauchyovy úlohy. Jejich uplatněním dostaneme ihned $a_0 = 1, a_1 = 0$ .
Funkci (1) dosadíme do rovnice $y''-xy'+2y=0$ a mocninné řady na levé straně sečteme tak, abychom obdrželi rovnici tvaru

$\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n = 0$ ,

odtud $b_n = 0$ . Toto po rozepsání bude diferenční rovnice (rekurentní předpis) pro neznámou posloupnost $(a_n)$ .

KaiserS · 25. 04. 2012 15:18

Nechci zbytečně otravovat, ale kdybys měl čas, mohl bys mi to prosím nějak rozepsat víc?
Díky za radu, ale nejsem z ní moc moudrej...
Štěpán

Rumburak · 25. 04. 2012 15:27

↑ KaiserS:
Stačí žítra dopledne ? Pro dnešek tu musím končit.

KaiserS · 25. 04. 2012 15:47

Určitě stačí, díky moc.

Rumburak

Pokračování příspěvku ↑ Rumburak:.

Máme rovnici

(0) $y''-xy'+2y=0$

s poč. podmínkami

(0') $y(0)=1, y'(0)=0$

a její řešení hledáme ve tvaru

(1) $y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n, x \in (-r, r)$ ,

kde číslo $r > 0$ , pokud existuje, zjistíme dodatečně.
Uvnitř konvergenčního kruhu spočítáme derivace (1):

(2) $y'(x) = \sum_{n=1}^{\infty}a_n nx^{n-1} , y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty}a_n n(n-1)x^{n-2}$ ,

takže bude

$y''(x)-xy'(x)+2y(x)=\sum_{n=2}^{\infty}a_n n(n-1)x^{n-2} -x\sum_{n=1}^{\infty}a_n nx^{n-1}+2\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n =\\=\sum_{k=0}^{\infty}a_{k+2} (k+2)(k+1)x^{k} -\sum_{n=1}^{\infty}a_n nx^{n}+2\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n =\\=2a_2 + \sum_{k=1}^{\infty}a_{k+2} (k+2)(k+1)x^{k} -\sum_{n=1}^{\infty}a_n nx^{n}+2a_0+\sum_{n=1}^{\infty}2a_n x^n =\\=2(a_2 + a_0) +\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n+2} (n+2)(n+1) -(n-2)a_n\right)x^n$ .

Odtud, z rovnice (0) a z teorie mocninných řad plyne

(3) $2(a_2 + a_0) = 0 , a_{n+2} (n+2)(n+1) -(n-2)a_n = 0 , n = 1, 2, ...$ ,

z (2) a (0') dostáváme

(4) $a_0 = 1, a_1 = 0$ .

Z druhých rovnic v (3), (4) okamžitě plyne, že pro lichá $n$ je $a_n = 0$ . Pro sudé hodnoty indexů ze vztahů (3), (4) vychází

(5) $a_0 = 1, a_2 = -1 , a_{2k+2} = \frac{2k-2}{(2k+2)(2k+1)}a_{2k} = \frac{k-1}{(k+1)(2k+1)}a_{2k}, k = 1, 2, ...$ .

Speciálně pro $k=1$ máme $a_4 = 0$ a z rekurentnáího vztahu vidíme, že též $a_6 = a_8 = a_{10}= ... = 0$ .

Závěr: $y(x) = 1-x^2 , r = +\infty$ . Zkouškou můžeme ověřit správnost.

KaiserS · 26. 04. 2012 10:40

Děkuju moc, teď už je mi to jasný.
Štěpán

Rumburak

↑ KaiserS:

Mohli jsme alternativně hledat čísla $c_n := y^{(n)}(0)$ - rekurentní předpis bychom dostali derivováním rovnice (1) -
a pak by podle teorie Taylorových řad bylo

$a_n = \frac{c_n}{n!}$ .

Tento postup by byl možná i méně pracný.

KaiserS · 26. 04. 2012 11:06

Tak jsem se původně snažil postupovat sám, ale taky jsem se zasekl.
Ta první metoda mi ale nakonec přijde dobře srozumitelná.

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2012 14:23

Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#2 25. 04. 2012 14:42 — Editoval Rumburak (25. 04. 2012 14:52)

Re: Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#3 25. 04. 2012 15:18

Re: Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#4 25. 04. 2012 15:27

Re: Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#5 25. 04. 2012 15:47

Re: Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#6 26. 04. 2012 10:36 — Editoval Rumburak (26. 04. 2012 14:58)

Re: Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#7 26. 04. 2012 10:40

Re: Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#8 26. 04. 2012 10:53 — Editoval Rumburak (26. 04. 2012 10:57)

Re: Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#9 26. 04. 2012 11:06

Re: Řešení obyčejné diferenciální rovnice mocninnou řadou

#10 22. 07. 2013 16:48 — Editoval Tomas.P (22. 07. 2013 16:53) Příspěvek uživatele Tomas.P byl skryt uživatelem Tomas.P. Důvod: Přišel jsem na to.

Zápatí