Matematické Fórum

Majki · 26. 04. 2012 01:45 — Editoval Majki (26. 04. 2012 01:45)

ahoj prosimvas mam takovy priklad a nevim si rady
$a_0=0,8 ;$
$b_0=0,2;$
$a_{n+1}=0,95a_n+0,45b_n;$
$b_{n+1}=0,05a_n+0,55b_n$
mam spocitat jak to bude procentuelne vypadat v n-ty den s b_n
a co s tim narvat to nejak do matice?
jinak to mam jako priklad do linearni algebry a jsou u toho vlastni cisla tak se to zrejme tyka toho
moc diky

Andrejka3 · 26. 04. 2012 09:31

↑ Majki:
Ahoj. Vztah mezi n+1 členem posloupnosti $a$ a n-tými členy posloupností $a,b$ je lineární.
Lze vyjádřit pomocí lineárního zobrazení. Napiš to jako součin matice s vektorem. Analogicky pro n+1 člen posloupnosti $b$ .

Hanis · 26. 04. 2012 09:45

Tento příklad je aktuální zápočtovÝM domácíM úkolem z lin. algebry na MFF.
Viz. http://www.karlin.mff.cuni.cz/~bulin/vyuka/lag2/du6.pdf

Stýv · 26. 04. 2012 09:57

↑ Majki: k čemu tolik různých profilů?

Majki · 26. 04. 2012 11:05

↑ Andrejka3:
takže jako takto vyjádřiti
$\{0.95,0.45\}*\{\{a_n\},\{b_n\}\}^T$
což se rovná a_{n+1}
a podobně u b_{n+1}
$\{0.05,0.55\}*\{\{a_n\},\{b_n\}\}^T$
nebo jinak?
děkuji ti

Andrejka3

↑ Majki:
Takže,
$\left( \begin{array}{c}a_{n+1}\\b_{n+1}\end{array} \right)=A \cdot \left( \begin{array}{c}a_{n}\\b_{n}\end{array} \right)$ ,
kde A=?

Majki · 26. 04. 2012 12:00

↑ Andrejka3:
ještě mě napadá věc
$a_{n}+b_{n}=1$
tedy $b_{n}=1-a_{n}$
dostanu $a_{n+1}=0.5a_{n}+0.45$
což má limitu 0.9
tedy béčková má limitu 0.1
čili to nezávisí na počátečním stavu $a_{0}, b_{0}$
čímž je odpovězena i část úkolu týkající se $0.5=a_{0}=b_{0}$

a ještě tady ty otázky mi připadají vlastně stejné
kolik procent bude marodit v n-tý den
na jakém čísle se nemocnost ustálí v nekonečně vzdálené budoucnosti

nebo se chce při druhé otázce neprocentuální vyjádření čili kolik prasat je 10%vepřína
jenže já vůbec ze zadání nevím kolik je tam prasat...

Majki · 26. 04. 2012 12:03

↑ Andrejka3:
co se týče tohoto tak A=
0,95 0,45
0,05 0,55

Andrejka3 · 26. 04. 2012 12:06

:D
aha, prasata.
$a_{n+1}=0.5a_{n}+0.45$ No jestli jsi tu limitu tak hned spočítal tak ok.

Andrejka3

↑ Majki:
Dále označme pro pohodlí $v_n:=\left( \begin{array}{c}a_{n}\\b_{n}\end{array} \right)$ pro $n \in \mathbb{N} \cup \{0\}$ .
$v_0=?$
$v_n$ pomoci $v_{n-1}$
$v_n$ pomoci $v_{n-2}$
...
$v_n$ pomoci $v_{0}$
edit: zacina se od nuly

Majki · 26. 04. 2012 12:19 — Editoval Majki (26. 04. 2012 12:20)

↑ Andrejka3:
no tak to je L=0,5L+0,45
čili 0,5L=0,45
L=0,9
kde L značí limitu áčkové

co se týče toho druhého příspěvku
a v_{1}=
a_{1}
b_{1}

což je
0.85
0.15

v_{0}=
a_{0}
b_{0}

0.8
0.2

Andrejka3

↑ Majki:
Opravila jsem tam prvni indexy, jen šlo o to, že
$v_{n}=A\cdot v_{n-1}=\ldots=A^n \cdot v_{0}$ .
S tím prvním: věřím ti, jen momentálně nemyslím.
Zřejmě taky
$(1,0)\cdot v_n =a_n$ , anal pro b.

Majki · 26. 04. 2012 13:09

↑ Andrejka3:
jo tak sem to spočetl i tímto způsobem a pak zalimitil a vychází mi to stejně

Andrejka3 · 26. 04. 2012 16:54

↑ Majki:
To je dobře.

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2012 01:45 — Editoval Majki (26. 04. 2012 01:45)

posloupnosti

#2 26. 04. 2012 09:31

Re: posloupnosti

#3 26. 04. 2012 09:45

Re: posloupnosti

#4 26. 04. 2012 09:57

Re: posloupnosti

#5 26. 04. 2012 11:05

Re: posloupnosti

#6 26. 04. 2012 11:57 — Editoval Andrejka3 (26. 04. 2012 12:00)

Re: posloupnosti

#7 26. 04. 2012 12:00

Re: posloupnosti

#8 26. 04. 2012 12:03

Re: posloupnosti

#9 26. 04. 2012 12:06

Re: posloupnosti

#10 26. 04. 2012 12:08 — Editoval Andrejka3 (26. 04. 2012 12:12)

Re: posloupnosti

#11 26. 04. 2012 12:19 — Editoval Majki (26. 04. 2012 12:20)

Re: posloupnosti

#12 26. 04. 2012 12:21 — Editoval Andrejka3 (26. 04. 2012 12:23)

Re: posloupnosti

#13 26. 04. 2012 13:09

Re: posloupnosti

#14 26. 04. 2012 16:54

Re: posloupnosti

Zápatí