Matematické Fórum

KaiserS · 26. 04. 2012 12:25

Ahoj,
prosil bych o pomoc s touto úlohou. Vede to na integrál, který se má řešit řadami(pravděpodobně) a tam jsem už ztracen.

Předem díky,
Štěpán

Rumburak

Ahoj.
Začal bych tou doporučovanou substitucí, integrály tím dostanou z jistého hlediska jednodušší tvar.
Ale není jasné, co je $n$ . Snad stupeň Taylorových polynomů těch funkcí v integrandech ? A má se chyba souřadnic počítat pro $s = 100m$ ?

KaiserS · 27. 04. 2012 13:01

Ahoj,
tak po substituci jsem dostal toto:

$x(s) = \int_{0}^{s}\cos\frac{t^{2}}{2a^{2}}dt$
$y(s) = \int_{0}^{s}\sin\frac{t^{2}}{2a^{2}}dt$

Nevím jestli je to správně. A n je stupeň polynomu a chyba má být pro $s = 100m$ .

Rumburak

↑ KaiserS:
Ano, substituce je provedena dobře. Vzhledem k tomu, že $n = 1$ , bereme

(1) $\cos\frac{t^{2}}{2a^{2}} = 1 + R_2\left(\cos, \frac{t^{2}}{2a^{2}}\right)$ , $\sin\frac{t^{2}}{2a^{2}} = \frac{t^{2}}{2a^{2}} + R_3\left(\sin, \frac{t^{2}}{2a^{2}}\right)$ ,

kde $R_{n+1}(f, x)$ je zbytek Maclaurinova rozvoje funkce $f$ definovaný rovnicí $f(x) = \sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}\,x^k + R_{n+1}(f,x)$ .

Ve vztazích (1) využíváme faktu, že členy rozvoje funkcí sin, cos jsou střídavě rovny 0, takže u zbytku lze brát o jedničku vyšší index, např.
$\cos x = 1x^0 + 0x^1 +R_2\left(\cos, x\right)$ místo méně přesného $\cos x = 1x^0 + R_1\left(\cos, x\right)$ .

Hledané chyby souřadnic $x(s), y(s)$ jsou po řadě rovny integrálům

$\int_0^s R_2\left(\cos, \frac{t^{2}}{2a^{2}}\right)\,\mathrm{d}t$ , $\int_0^s R_3\left(\sin, \frac{t^{2}}{2a^{2}}\right)\,\mathrm{d}t$ .

Tyto integrály není možno jednoznačně vypočítat (ve zbytku rozvoje figuruje proměnná , jejíž hodnota není přesně známa) , ale je možno je odhadnout.
Viz též tvary zbytku Taylorova rozvoje - Lagrangeův bývá přesnější.

Rumburak · 28. 04. 2012 10:54

↑ KaiserS:

Ještě mne napadla další možnost postupu: rozvádět do Taylorova (Maclaurinova) polynomu až funkce $x(s), y(s)$ . Pří tom

$x'(s) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s} \int_{0}^{s}\cos\frac{t^{2}}{2a^{2}}\,\mathrm{d}t = \cos\frac{s^{2}}{2a^{2}}$

(věta o derivaci integrálu podle horní meze) atd. Nepropropočítával jsem to, ale připadá mi, že tato metoda by mohla přinést přesnější výsledky (?)

KaiserS · 29. 04. 2012 09:22

Děkuju,
pomohlo to.

Matematické Fórum

#1 26. 04. 2012 12:25

Klotoida

#2 26. 04. 2012 14:51 — Editoval Rumburak (26. 04. 2012 14:51)

Re: Klotoida

#3 27. 04. 2012 13:01

Re: Klotoida

#4 27. 04. 2012 14:13 — Editoval Rumburak (27. 04. 2012 14:37)

Re: Klotoida

#5 28. 04. 2012 10:54

Re: Klotoida

#6 29. 04. 2012 09:22

Re: Klotoida

Zápatí