Matematické Fórum

Keeeeke · 25. 04. 2012 20:28

Ahoj, může mi někdo poradit, jak na tento příklad? Mám určit, zda $a_n=\frac{4+5i}{2^n}\cdot (1-i\sqrt{3})^n$ je geometrická posloupnost, jestli jo, tak mám určit délku periody. Poté mám popsat geometricky vztah mezi prvky posloupnosti v Gaussově rovině. Díky za radu, nebo tip jak postupovat.

vanok · 25. 04. 2012 22:59

Ahoj ↑ Keeeeke:,
Skutocne ide o geometricku postupnost, ktora je naviac cyklicka.

Ako prve najdi goniometricku formu komplexneho cisla $\frac {1-i \sqrt 3} 2$

Keeeeke · 26. 04. 2012 15:52

↑ vanok:
Ahoj,goniometricka forma bude: $z=\frac{\sqrt{13}}{2}(\cos 286^\circ + i\sin 286^\circ )$ ale jak dál... ? (Stupně jsou lehce zaokrouhleny)

vanok · 26. 04. 2012 16:44

↑ Keeeeke:
Je niekde mala chyba;
Co mozes okamzite overit a uvidis, ze
$\frac {1-i \sqrt 3} 2$ nie je to iste ako z co si nasiel.

Keeeeke · 26. 04. 2012 23:02

↑ vanok:
$z=1(\cos 300^\circ +i\sin 300^\circ )$ lepší?? Spatne jsem to spočet. Tak jak dál?

vanok · 26. 04. 2012 23:52

↑ Keeeeke:,
Ano to je ok.
Mozes pracovat aj z -60°. ("mensie cisla" casto daju menej chyb pri vypoctoch)

Keeeeke · 27. 04. 2012 06:10

↑ vanok: Bezva, ze jsme se shodli, ale poradil bys mi, jak dal postupovat?? :-)

vanok · 27. 04. 2012 06:42

↑ Keeeeke:
Vypocitaj $z^6$

Keeeeke · 29. 04. 2012 15:14

↑ vanok:
Tak to je:
$z_0=\cos 50^\circ +i\sin 50^\circ$
$z_1=\cos 110^\circ +i\sin 110^\circ$
$z_2=\cos 170^\circ +i\sin 170^\circ$
$z_3=\cos 230^\circ +i\sin 230^\circ$
$z_4=\cos 290^\circ +i\sin 290^\circ$
$z_5=\cos 350^\circ +i\sin 350^\circ$

ale muzes mi vysvetlit proc zrovna na $z^6$ jak jsi na to prisel? A jaky je dalsi krok? Dikes

vanok · 29. 04. 2012 15:54

↑ Keeeeke:,
lebo 60*6 = 360
a vysledky tvojho z by mali mat uhly -60°, -120°, -180° ... -360°

Dalsi a posledny krok bude napisat ze a_n je cyklicka postupnost taka, ze ...

Keeeeke · 29. 04. 2012 20:01

↑ vanok:
Ja mam zato, ze
$z^n=a$
$z_k=\sqrt[n]{|a|}[\cos( \frac{\alpha }{n}+\frac{k\cdot 360}{n})+i\sin (\frac{\alpha }{n}+\frac{k\cdot 360}{n})] \ldots kde\textbf{ k }je 0,1,2...n-1$
a pak si myslim, ze $300/6=50^\circ$

Myslim, ze to mam dobre... ale stale mi neni jasne proc to mam 6-krat odmocnovat, kde jsem vzal tu 6-ku? Proc to neodmocnuju treba 10-ti? DIky

vanok · 30. 04. 2012 00:32

↑ Keeeeke:
0° a 360° ako -360° aj zobrazuju ten isty uhol

Keeeeke · 30. 04. 2012 08:09

↑ vanok:
ale stale mi neni jasne proc to mam 6-krat odmocnovat, kde jsem vzal tu 6-ku? Proc to neodmocnuju treba 10-ti? DIky

vanok · 30. 04. 2012 13:09 — Editoval vanok (30. 04. 2012 13:09)

vsak nejde o odmocniny, ale o mocniny
akoze si nasiel ze "uhol" pre z je 300°, alebo equivivalentne -60°
a ked to umocnis na,2hu ...6tu, 7mu ...konstatujes ze
mas uhly -120°,..., -360°-->0°, -60°.

To ti da medzi inym ze $z^6=1$ a $z^7=z$ .... $z^{12}=1$ , $z^{13}=z$ ...
Vidis co to znamena?

Keeeeke

↑ vanok:
Jasne uz tomu rozumim, opakuje se to po 6-mocnine. Jaka je vsak delka periody? Bude to 6? Jakože mezi 1 a 2 clenem posloupnosti je vzdalenost 1, mezi 2 a 3 je vzdalenost take 1 atd. Je to spravne? A jeste jedna vec, kdyz se podivam na zadani, prijde mi, ze pracujeme pouze s druhou casti vyrazu tj $(\frac{1-i\cdot \sqrt{3}}{2})^n$ a vubec jsme zatim nepracovali s $(4+5i)$ je to tak nebo se mi to jen zda? Diky

vanok · 01. 05. 2012 11:48 — Editoval vanok (01. 05. 2012 11:48)

Mas $z^{n+6k}=z^n$
Ano zatial sme pracovali $z^n=(\frac{1-i\cdot \sqrt{3}}{2})^n$
A teraz pouzi vyraz pre $a_n$ a to ti da konecne riesenie.

Keeeeke · 01. 05. 2012 12:18

↑ vanok:↑ vanok:
No, nevim jak graficky znazornit nasobeni vektoru, nicmene jsem nasel tento aplet http://www.walter-fendt.de/m14cz/komplz_cz.htm. Myslim si, ze vysledek bude zas kruznice, ale vic netusim. Jak dal?

vanok · 01. 05. 2012 12:27

Ano $a_n$ su na kruznici polomeru (no len jej 6 bodov) $|4+5i|$
na graficke vyjadrenie moezes pouzit ze $z^6=1$ & a preto $a_{6+6k}=4+5i$

Keeeeke

↑ vanok:
A kde má kružnice o poloměru $\sqrt{41}$ střed? V pocatku?

vanok · 01. 05. 2012 13:35

↑ Keeeeke:
Ano, ale vies zvovodnit preco?

Keeeeke · 01. 05. 2012 13:59

↑ vanok:
Jo tak to nevim. Kdybych to vsak chtel cele srhnout, tak jsme dosli k zaveru, ze jde o geometrickou poslounost, navíc cyklickou. Délka periody je $6\cdot \sqrt{41}$ a vztah mezi prvky v Gaussove rovine je, ze kazdy naslednujici prvek posloupnosti je rotace o 60° se stredem v pocatku.OK?

vanok · 01. 05. 2012 14:31 — Editoval vanok (01. 05. 2012 14:32)

↑ Keeeeke:
perioda je 6
Su na kruznici polomeru $\sqrt{41}$ co ma stred v pociatku suradnic
a ich obraz tvori pravidelny sestuholnik

Vidim ze uz vsetko rozumies z tohto cvicenia a som rad ze si sa dopracoval k dobrej odpovedi

Tak mozes toto tema oznacit za ukoncene

Keeeeke · 01. 05. 2012 23:32

↑ vanok:
Dobry vecer, jeste se vratim k prikladu. Pro konrolu jsem to nacvakal do Wolphramu a nemuzu se dopocitat stejneho vysledku. Je opravdu vse spravne?

vanok · 02. 05. 2012 09:41

Ahoj, co myslis?

Ak o niecom pochybujes, tak over vsetki uvahy a posud sam.
Treba verit sam sebe a vediet posudit kvalitu svojej prace.

Wolframalpha ti da vysledky ktore treba vediet dobre interpretovat.

Keeeeke · 02. 05. 2012 20:23

↑ vanok:
Kdyz se mrknu na to co mi vypocetl Wolphram, konkretne Decimal approximation, tak co jsou ty cisla? Napriklad hned to prvni: 6,33013, 0,964102i. Jak k nemu dojdu? Diky

Matematické Fórum

#1 25. 04. 2012 20:28

Geometrická posloupnost

#2 25. 04. 2012 22:59

Re: Geometrická posloupnost

#3 26. 04. 2012 15:52

Re: Geometrická posloupnost

#4 26. 04. 2012 16:44

Re: Geometrická posloupnost

#5 26. 04. 2012 23:02

Re: Geometrická posloupnost

#6 26. 04. 2012 23:52

Re: Geometrická posloupnost

#7 27. 04. 2012 06:10

Re: Geometrická posloupnost

#8 27. 04. 2012 06:42

Re: Geometrická posloupnost

#9 29. 04. 2012 15:14

Re: Geometrická posloupnost

#10 29. 04. 2012 15:54

Re: Geometrická posloupnost

#11 29. 04. 2012 20:01

Re: Geometrická posloupnost

#12 30. 04. 2012 00:32

Re: Geometrická posloupnost

#13 30. 04. 2012 08:09

Re: Geometrická posloupnost

#14 30. 04. 2012 13:09 — Editoval vanok (30. 04. 2012 13:09)

Re: Geometrická posloupnost

#15 01. 05. 2012 10:50 — Editoval Keeeeke (01. 05. 2012 11:26)

Re: Geometrická posloupnost

#16 01. 05. 2012 11:48 — Editoval vanok (01. 05. 2012 11:48)

Re: Geometrická posloupnost

#17 01. 05. 2012 12:18

Re: Geometrická posloupnost

#18 01. 05. 2012 12:27

Re: Geometrická posloupnost

#19 01. 05. 2012 12:33 — Editoval Keeeeke (01. 05. 2012 12:40)

Re: Geometrická posloupnost

#20 01. 05. 2012 13:35

Re: Geometrická posloupnost

#21 01. 05. 2012 13:59

Re: Geometrická posloupnost

#22 01. 05. 2012 14:31 — Editoval vanok (01. 05. 2012 14:32)

Re: Geometrická posloupnost

#23 01. 05. 2012 23:32

Re: Geometrická posloupnost

#24 02. 05. 2012 09:41

Re: Geometrická posloupnost

#25 02. 05. 2012 20:23

Re: Geometrická posloupnost

Zápatí