Matematické Fórum

byk7 · 29. 04. 2012 12:07

Zdravím,
jak můžu prozkoumat průběh funkce $f(x)$ mimo interval $\left\langle-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right\rangle?$

Děkuji

Andrejka3

Ahoj,
napíšu to trochu polopaticky. (edit: asi to tak nedopadlo nakonec)
Označím si $g_0(x)= \sin x, \; \mathrm{D}(g_0)=\left\langle-\frac\pi2,\,\frac\pi2\right\rangle$ Tato fce je prostá a existuje k ní inverzní, kterou je zvykem značit $\arcsin x = g_0^{-1}$ .
Máme-li teď $f_0(x)=\sin x, \; \mathrm{D}(f_0)=\left\langle \frac\pi2,\,\frac{3\pi}{2}\right\rangle$ , tak ta je taky prostá. Chceme inverzi.
Všimneme si (obrázek), že graf f je osovým obrazem grafu g, podle osy $x=\frac{\pi}{2}$ .
Pak, když dostaneme $y \in \langle -1,1 \rangle$ a chceme vědět, jakému x to odpovídá, aby $f(x)=y$ , podíváme se, kolik je $\arcsin(y)$ . $f_0^{-1}(y)$ dostaneme tak, že $\arcsin(y)$ zobrazíme symetricky podle osy $x=\frac{\pi}{2}$ . Takže $f_0^{-1}(y)=\frac{\pi}{2} + \left( \frac{\pi}{2} - \arcsin (y) \right)$ .
Je to odpověď na tvou otázku?

Pak samozřejmě se nabízí problém hledat inverze k funkcím:
$g_k(x)= \sin x, \mathrm{D}(g_k)= \left\langle -\frac{\pi}{2} +k2\pi,\,\frac{\pi}{2}+k2\pi\right\rangle$ pro nějaké pevné $k \in \mathbb{Z}$ a
analogicky s $f_k$ .

byk7 · 29. 04. 2012 13:48 — Editoval byk7 (29. 04. 2012 15:23)

↑ Andrejka3:
nemyslel jsem svou otázku tak, jak na ni odpovídáš, nicméně ti děkuju za jiný úhel pohledu

moje otázka vycházela z grafu, tam můžeš vidět, že
$f(x)=\begin{cases} -\frac\pi2+F(x)\cdot\text{i}, & x<-1 \\ \ \\ \arcsin(x), & x\in\langle-1,\,1\rangle \\ \ \\ \frac\pi2+F(x)\cdot\text{i}, & x>1 \end{cases}$
a mě právě zajímá, jak vypadá $F(x)$

Andrejka3 · 29. 04. 2012 13:54

↑ byk7:
Tak to nevím o co jde.
Zmíním se aspoň v Zapomněnkách.

Kondr · 29. 04. 2012 14:14 — Editoval Kondr (29. 04. 2012 14:42)

Platí http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_formula :

$e^{ix}=cos(x)+i\sin(x)$
$e^{-ix}=cos(x)-i\sin(x)$
tedy
$sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$
My chceme vyjádřit $x$ pomocí $y=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}$ . Po substituci $z=e^{ix}$ je $y=\frac{z-1/z}{2i}$ , $z^2-2iyz-1=0$ ,
$z=iy+i \sqrt{y^2-1}$ . Pro reálné y je z číslo ryze imaginární s absolutní hodnotou $y+\sqrt{y^2-1}$ , x dopočteme zlogaritmováním jako
$-i\log(y+\sqrt{y^2-1})+\pi/2+2k\pi$ .

byk7 · 29. 04. 2012 15:25

↑ Kondr:
no, nevim, jestli jsem pochopil všechny kroky,
ale z tvého příspěvku jsem jaksi odvodil, že
$F(x)=-\text{Re}$\ln\(x+\sqrt{x^2-1}$\)$

Kondr · 01. 05. 2012 23:54

↑ byk7: Ano, přesně tak. Asi nejhorší na pochopení je ten poslední krok, ten využívá vztahu $z=e^{\ln|z|+i\arg z}$ a toho, že pro ryze imaginární číslo s kladnou imaginární částí je $arg(z)=\pi/2$ .

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2012 12:07

Průběh funkce f(x)=arcsin(x)

#2 29. 04. 2012 13:06 — Editoval Andrejka3 (29. 04. 2012 13:14)

Re: Průběh funkce f(x)=arcsin(x)

#3 29. 04. 2012 13:48 — Editoval byk7 (29. 04. 2012 15:23)

Re: Průběh funkce f(x)=arcsin(x)

#4 29. 04. 2012 13:54

Re: Průběh funkce f(x)=arcsin(x)

#5 29. 04. 2012 14:14 — Editoval Kondr (29. 04. 2012 14:42)

Re: Průběh funkce f(x)=arcsin(x)

#6 29. 04. 2012 15:25

Re: Průběh funkce f(x)=arcsin(x)

#7 01. 05. 2012 23:54

Re: Průběh funkce f(x)=arcsin(x)

Zápatí