Matematické Fórum

Angie11

Dobrý den,
chtěla bych poprosit o radu ohledně polynomů u diferenciální rovnice:

$y"+ 4y= \cos (2x)$

určila jsem homogenní řešení:

$y_h=c_1 + c_2x\mathrm{e}^{-4x}$

potom když chci partikulární (mým úkolem je mimo jiné zjistit obecné řešeni) použiji vzoreček:

$y_p(x)=\mathrm{e}^{\alpha x}x^k(R_m(x)cos\beta x + S_m(x)\sin \beta x)$

přičemž vím, že: $\alpha =0$ , $\beta =2$ , $\alpha \pm i\beta =\pm 2i$ , tudíž k=0.

A teď mám problém s napsáním partikulární rovnice, ptž ještě uplně nechápu ty polynomy =( Vím, že R a S mají být stejného stupně jako polynom v zadané rovnici, ale nevím jak na to. Proto budu ráda za radu.

Předem děkuju, Angie

Phate · 28. 04. 2012 23:19

Jetom takova technicka, neni to homogenni reseni spatne? Takto by to podle me bylo pro $y''+4y'$ a ne $y''+4y$

skoroakvarista

↑ Angie11:
Zdravím, polynom stojící před $\cos(2x)$ je polynom stupně nula, konstantní jednička. Vaším úkolem je tedy vzít za $R_m(x),S_m(x)$ polynom stupně nula, např. $a,b\in\mathbb{R}$ . Pokud správně určíte homogenní řešení, zjistíte, že $\mathrm{e}^{2\mathrm{i}x}$ řeší homogenní rovnici, tedy $0+2\mathrm{i}$ je právě jednonásobným kořenem charakteristického polynomu příslušné rovnice. Potom bude mít partikulární řešení tvar $y_p(x)=x^1(a\cos(2x)+b\sin(2x))$ . Dosazením do DR dostaneme rovnost $y_p''(x)+4y_p(x)=\cos(2x)$ . Je tedy nutné zjistit druhou derivaci $y_p''(x)$ a porovnáním levé a pravé strany určit konstanty $a,b$ a tím i konečný tvar $y_p(x)$ .

Angie11 · 29. 04. 2012 09:42

↑ Phate:

Takže tam mám navíc x a mělo by to být $y_h=c_1+c_2\mathrm{e}^{-4x}$ ?

skoroakvarista · 29. 04. 2012 10:04

↑ Angie11:
Zdravím, jakým způsobem zjišťujete homogenní řešení?

Angie11 · 29. 04. 2012 10:27

↑ skoroakvarista:

joo už jsem našla tu moji chybu =)

$y_h: \lambda^2 +4=0$ potom $\lambda_1=2i$ a $\lambda_2=-2i$

takže $y_h=c_1xcos2x+c_2xsin2x$ ? Ale nejsem si jistá těma x teď.

skoroakvarista · 29. 04. 2012 10:38

↑ Angie11:
Ta $x$ tam nebudou. Platí $\mathrm{e}^{\alpha+\mathrm{i}\beta}=\mathrm{e}^{\alpha}(\cos(\beta)+\mathrm{i}\sin(\beta))$ .

Angie11 · 29. 04. 2012 10:49

↑ skoroakvarista:

takže to bude $y_h=c_1\cos 2x + c_2\sin 2x$ ?
Omlouvám se, že se tak moc ptám, ale snažím se těm DR přijít na kloub, jelikož z přednesené látky nejsem moc moudrá.

skoroakvarista · 29. 04. 2012 10:52

↑ Angie11:
To je v pořádku. Kdo se moc ptá, moc se dozví. Co to partikulární řešení, půjde to s tím nočním návodem?

Angie11 · 29. 04. 2012 11:02

↑ skoroakvarista:

Zkoušela jsem to, ale poprvé mi to nevyšlo, takže to zkouším znova.

Angie11

Vychází mi:
$y_p=xa\cos 2x + xb\sin 2x$ a $y"_p=-3asin2x-2xacos2x+3bcos2x-2xbsin2x$

takže po dosazení do $y"_p +4y_p=cos2x$ mi pak vychází $sin2x(-3a+2xb)=cos2x(1-2xa-3b)$ a nevim co s tim.
Bude tam zřejmě znova chyba, protože by se to mělo vykrátit podle toho, co nám říkali.

skoroakvarista · 29. 04. 2012 11:13

↑ Angie11:
Tam bude špatně ta druhá derivace, u všech členů by měla stát čtyřka.

Angie11 · 29. 04. 2012 11:37

↑ skoroakvarista:
Ano, zapomněla jsem u ní zderivovat vnitřky.
Takže mi vyšlo tedy $-4asin2x=(1-4b)cos2x$ . Šlo by k vypočítání použít vzoreček tgx=sinx/cosx? Nic jiného mě totiž nenapadá.

skoroakvarista · 29. 04. 2012 11:44

↑ Angie11:
Já bych si to nechal zapsané ve tvaru $4b\cos(2x)-4a\sin(2x)=\cos(2x)$ . Nyní musíte najít taková $a,b\in\mathbb{R}$ , aby se levá strana rovnala pravé. Tedy co stojí před $\cos(2x)$ na levé straně, se musí rovnat tomu, co stojí před $\cos(2x)$ na pravé straně. Stejně tak pro $\sin(2x)$ .

Angie11 · 29. 04. 2012 11:52

↑ skoroakvarista:
To mě nenapadlo. =) Tedy vyšlo, že a=0 a b=1/4. Potom by $y_p=\frac{x}{4}\sin 2x$ a
obecné řešení by bylo $y=c_1cos2x + c_2sin2x + \frac{x}{4}\sin 2x$ ?

skoroakvarista · 29. 04. 2012 12:03

↑ Angie11:
Ano, tohle už vypadá dobře. Ještě by možná stálo za to poznamenat, že to platí pro $x\in\mathbb{R}$ .

Angie11

↑ skoroakvarista:
Určitě, děkuju moc!
A jestli se můžu jestě zeptat, když mám zjistit dvě partikulární řešení pro počáteční podmínky:
$y(0)=1$ , $y'(0)=-1$ , $y(1)=0$ a $y'(1)=1$ , tak je dosazuju do toho obecného řešení? A u těch podmínek $y'(0)=-1$ a $y'(1)=1$ ho musím nejprve zderivovat a potom dosadit?

skoroakvarista · 29. 04. 2012 12:27

Počátečními podmínkami vlastně určujete, jakými body má vaše řešení procházet. A je to tak, jak říkáte. Pro první podmínku $y(0)=1\land y'(0)=-1$ dostanete soustavu dvou rovnic - jednu normální "obecné řešení" a druhou zderivované "obecné řešení". Stejně tak pro druhou podmínku.

Angie11 · 29. 04. 2012 13:04

↑ skoroakvarista:
Takže když mi pro první podmínku $y(0)=1\wedge y'(0)=-1$ vyšlo $c_1=1$ a $c_2=-\frac{1}{2}$ , tak potom dostanu první partikulární řešení ve tvaru $y=\cos 2x-\frac{1}{2}\sin 2x+\frac{x}{4}\sin 2x$ ?
A když mi pro drouhou podmínku $y(1)=0\wedge y'(1)1$ vyšlo $c_1=-0.017$ a $c_2=0.74$ , tak dostanu druhé partikulární řešení ve tvaru $y=-0.017\cos 2x+0.74\sin 2x+\frac{x}{4}\sin 2x$ ?

skoroakvarista · 29. 04. 2012 13:18

↑ Angie11:
Pokud jsou $c_1,c_2$ pro druhou podmínku dopočítána správně, tak souhlasím.

Angie11 · 29. 04. 2012 13:27

↑ skoroakvarista:
Já doufám, že už ano. =) Ale pro jistotu si to ještě jednou zkontroluju.
Děkuju moc za pomoc a rady. Orientuju se v DR už mnohem lépe.

Přeju hezký zbytek dne, Angie

skoroakvarista · 29. 04. 2012 13:30

↑ Angie11:
Ta druhá podmínka není zadána moc hezky, takže jde hlavně o to si osvojit princip.
Není zač a hodně štěstí s dalšími DR. (:

Matematické Fórum

#1 28. 04. 2012 22:52 — Editoval Angie11 (28. 04. 2012 22:55)

Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#2 28. 04. 2012 23:19

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#3 29. 04. 2012 00:14 — Editoval skoroakvarista (29. 04. 2012 00:15)

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#4 29. 04. 2012 09:42

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#5 29. 04. 2012 10:04

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#6 29. 04. 2012 10:27

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#7 29. 04. 2012 10:38

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#8 29. 04. 2012 10:49

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#9 29. 04. 2012 10:52

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#10 29. 04. 2012 11:02

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#11 29. 04. 2012 11:10 — Editoval Angie11 (29. 04. 2012 11:16)

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#12 29. 04. 2012 11:13

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#13 29. 04. 2012 11:37

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#14 29. 04. 2012 11:44

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#15 29. 04. 2012 11:52

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#16 29. 04. 2012 12:03

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#17 29. 04. 2012 12:13 — Editoval Angie11 (29. 04. 2012 12:15)

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#18 29. 04. 2012 12:27

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#19 29. 04. 2012 13:04

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#20 29. 04. 2012 13:18

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#21 29. 04. 2012 13:27

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

#22 29. 04. 2012 13:30

Re: Diferenciální rovnice n-tého řádu nehomogenní

Zápatí