Matematické Fórum

maggievici · 18. 04. 2010 15:05

Dostali jsme za domácí úkol vyřešit tuto slovní úlohu (Petáková 161/67) : Do koule o poloměru 3 cm vepište válec o maximálním objemu. Určete jeho rozměry.

Určila jsem si vzorec pro objem a obsah válce, nakreslila nákres, kde je zřejmé, že od středu koule do bodu, kde se jí válec dotýká je 3cm a z toho určila, že 3^2 = r^2 + v^2/4, kde r = poloměr podstavy válce. Z tohoto vzorce jsem vyjádřila v, dosadila do vzorce pro objem, derivovala a vyšlo r = 0 v r = 2. Určila jsem definiční obor D=r náleží (0;6), udělala pomocí tabulky globální maxima a minima ze kterých mi vyšlo maximum v bodě 2, čili r=2, což bohužel není správný výsledek. Nedokážu určit, ve kterém kroku jsme udělala chybu, nebo zda jsem postupovala úplně špatně, proto jsem vám to popsala podrobně. Budu moc ráda za všechny rady.

Chrpa · 18. 04. 2010 16:28 — Editoval Chrpa (18. 04. 2010 16:35)

↑ maggievici:
Označme: r - poloměr válce
v - výška válce
V objem válce (má být maximální)
$V=\pi\,r^2\,v\,\rightarrow\,max$
Z Pythagorovy věty platí:
$(2r)^2+v^2=6^2$ ( průměr válce na druhou + výška válce na druhou = průměr koule na druhou)
$4r^2+v^2=36\nlv=\sqrt{36-4r^2}$ - dosadíme do rovnice pro objem válce:
$V=\pi\,r^2\sqrt{36-4r^2}\,\rightarrow\,max$ - toto stačí derivovat a derivaci položit rovnu nule.
Pokud jsem dobře počítal:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

maggievici

derivovala jsem, dala do rovnosti s nulou a vyšlo r=0 :(

počítal jsi dobře, ale já pořád ne.

$V' = \frac{-8\pi r^2}{\sqrt{36-4r^2}}$

Chrpa · 18. 04. 2010 16:56 — Editoval Chrpa (18. 04. 2010 17:01)

↑ maggievici:
$V^'=(\pi\,r^2\sqrt{36-4r^2})^'\nl\frac{2\pi\,r(36-4r^2)-4\pi\,r^3}{\sqrt{36-4r^2}}=0\nl72r-12r^3=0\nlr(r^2-6)=0\nlr_1=0\,\rm{ne}\nlr^2=6\nlr=\sqrt 6$
Dopočítat výšku už zvládneš.

maggievici · 18. 04. 2010 17:53

děkuju, už to vychází

tereza · 29. 04. 2012 16:33

↑ maggievici:
Prosím vás, jak vypočítám tu výšku? Děkuji

jelena · 29. 04. 2012 16:50

↑ tereza:

dosadíš $r$ podstavy válce do $(2r)^2+v^2=6^2$ . To jsi potřebovala? Děkuji, zdravím.

tereza · 29. 04. 2012 16:58

Moc děkuji:)

Matematické Fórum

#1 18. 04. 2010 15:05

Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#2 18. 04. 2010 16:28 — Editoval Chrpa (18. 04. 2010 16:35)

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#3 18. 04. 2010 16:38 — Editoval maggievici (18. 04. 2010 16:54)

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#4 18. 04. 2010 16:56 — Editoval Chrpa (18. 04. 2010 17:01)

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#5 18. 04. 2010 17:53

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#6 29. 04. 2012 16:33

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#7 29. 04. 2012 16:50

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

#8 29. 04. 2012 16:58

Re: Slovní úlohy řešené pomocí derivací

Zápatí