Matematické Fórum

gisat · 27. 10. 2008 23:04

Ahoj, poradil byste někdo jestli jsem tento úkol řešil správně? Nejsem si jist s těmi výsledky s těmi spojitostmi, napište když tak jak se správně spojitost v těchto případech. Předem děkuju za radu.

Zadání příkladů je takovéto:

Tyto příklady jsem řešil takto:

==========================================
Příklad 1:
$arccos(\frac{x+1}{2x})\nl D(f)=<-\frac{1}{3};1>$

${\lim}\limits_{x \to -\frac{1}{3}}arccos(\frac{x+1}{2x})=arccos(-1)=\pi\nl {\lim}\limits_{x \to \1}arccos(\frac{x+1}{2x})=arccos(1)=0$

VÝSLEDEK: odstranitelná nespojivost

==========================================
Příklad 2:
$\frac{x^2-3x+2 }{x-1}\nl D(f)=(-\infty;-1)\cup(1;+\infty)\nl {\lim}\limits_{x \to -\infty}\frac{x^2-3x+2 }{x-1}=-\infty\nl {\lim}\limits_{a \to +\infty}\frac{x^2-3x+2 }{x-1}=+\infty\nl {\lim}\limits_{x \to \1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}=-1\nl {\lim}\limits_{x \to -\1}\frac{x^2-3x+2}{x-1}=-3$
VÝSLEDEK: FUNKCE JE SPOJITÁ VE VŠECH BODECH

Další příklad:
$\frac{2}{x-3}\nl D(f)=(-\infty;-3)\cup(3;+\infty)\nl {\lim}\limits_{x \to -\infty}\frac{2}{x-3}=0\nl {\lim}\limits_{x \to \infty}\frac{2}{x-3}=0\nl {\lim}\limits_{x \to -\3}\frac{2}{x-3}=-\frac{1}{3}\nl {\lim}\limits_{x \to \3}\frac{2}{x-3}=+\infty$
Funkce je spojitá v bodě $+\infty$

Další příklad:
$ln(x-2)\nl D(f):(2;+\infty)\nl {\lim}\limits_{x \to \2}ln(x-2)=-\infty\nl {\lim}\limits_{x \to +\infty}ln(x-2)=+\infty$
VÝSLEDEK JE ŽE FUNKCE JE SPOJITÁ V BODĚ $+\infty$

kaja.marik

${\lim}\limits_{x \to 1^+}f(x)=\lim_{x\to 1^+}\arccos(\frac{x+1}{2x})=\arccos(1)=0\nl \lim_{x\to 1^-}f(x)=\lim_{x\to 1^-}2x=2\neq 0$
nespojitost v x=1 (skok)

kaja.marik

mimochodem: $\hat f(x)=arccos(\frac{x+1}{2x})\nlD(\hat f)=(-\infty,-\frac{1}{3}]\cup[1,\infty)$

kaja.marik · 28. 10. 2008 01:04

K tem dalsim prikladum: Muze byt podle vasi definice spojitosti funkce spojita v nekonecnu? Dost bych se divil ......

gisat · 28. 10. 2008 09:43

kaja.marik napsal(a):
K tem dalsim prikladum: Muze byt podle vasi definice spojitosti funkce spojita v nekonecnu? Dost bych se divil ......

Ahoj tak mi prosímvás poraďte jak to má být správně s tou spojitosti, ten df u té jedné funkce opravím zapomněl jsem na plus nekonečno a mínus nekonečno.

Děkuju předem za radu.

kaja.marik

1. priklad funkce f

a) na intervalu (-nekonecno, 1] je ta funkce linearni a je spojita
b) na intervalu (1,nekonecno) je ta funkce elementarni (arkuskosinus podilu) a definovana a tudiz je spojita
c) jediny problem by tedy mohl nastat v jednicce. jestli je spojita tak musi existovat limita a byt stejna jako funkcni hodnota. Protoze nalevo a napravo od jednicky mam jine analyticke predipisy pro funkci, pocitam zvlast limitu zleva a zvlast limitu zprava (viz jeden z predeslych prispevku). Protoze je kazda jednostranna limita jina, oboustranna limita neexistuje a funkce tedy neni spojita. Nevim jak tomuto pripadu nespojitosti rikate, ja tomu na hnojarne rikam skok, ale jsou i sofistikovanejsi nazvy.

----------------------------------------------------------
2. priklad $f(x)=\begin{cases}\frac{x^3-3x+2}{x-1}&x<1\nl 0 & x=1 \nl \frac{2}{x-3} & 1<x\leq 2 \nl \ln(x-2)& x>2\end{cases}$

Problem by mohl byt v jednicce a ve dvojce, vsude jinde je funkce spojita podle vety 1.6 v http://user.mendelu.cz/marik/mat-web/ma … #x5-4031r6 (definice nad tim rika, co rozumim pod pojmem elementarni funkce)

x=1
$\lim_{x\to 1^-}f(x)= \lim_{x\to 1^-} \frac{x^3-3x+2}{x-1} = ???$

$\lim_{x\to 1^+}f(x)= \lim_{x\to 1^+} \frac{2}{x-3} = ???$

$f(1)=???$

Funkce bude spojita v jednicce, pokud vsechna cisla ktera vypoctete vyse budou stejna

x=2
zleva spojita tam bude urcite (zleva to je lomena funkce definovana ve dvojce)
$f(2)=????$
$\lim_{x\to 2^+}f(x)=\lim_{x\to 2^+}\ln(x-2)=???$
a otazka je, jestli dve posledni cisla jsou stejna, pokud ano, je funkce spojita, pokud ne tak ne.

Graf funkce: http://user.mendelu.cz/marik/temp/graf.jpg (odkaz plati max. nekolik tydnu) - z toho to jde snad videt - neresil jsem tam prazdna a plna kolecka, rikajici, kde najdu funkci hodnotu v jednicce a dvojce, ale to uz si domalujete.
-------------------------------------------------------------
Kája měl vskutku hlad a ještě víc žízeň. Pokřižoval se a řekl: „Dobré chutnání“ panu řídícímu. Ale mléko bylo horké. Kája postavil hrneček a díval se na teninký škraloupek, který byl roztažen po celém povrchu mléka. Pan řídící se zabral do novin, a Kája nabral lžičkou. Za nic na světě nebyl by řekl, že horké mléko nikdy nepije, protože maminka říká: „Jez doma, co máš, a jinde, co ti dají.“ A tohle není dané. To bude musit pan řídící zaplatit. Možná, že ten pán řekne dvacet haléřů jako nic.
Polkl mléko a odložil lžičku. Počká, až to vychladne, snad to bude lepší. Pan řídící jednou rukou míchal kávu, v druhé držel noviny a jistě nevěděl, co se kolem děje, protože si ani nevšiml, že ten pán položil před Káju nějaké obrázkové sešity a usmíval se na něj s pobídnutím: „Prohlížejte si!“
„Ju, to se lehko řekne. Pro něj tak zrovna jsou noviny! Maminka by mu dala!“ Míchá tiše lžičkou a říká si v duchu: „Ta je ale mrňavá!“ Mléko pomalu vychladá a Kája konečně upíjí. Ten pán měl pravdu, když řekl, že v Praze není takové, jako u nich, že je – a Kája si za nic nemůže vzpomenout, jak to ten pán řekl. Ale protože nerad i v myšlenkách nechával větu nedokončenu, domyslil, že je „nabryndané“, jak slýchal maminku hubovat na tetu kovářku, která si také brala Pražáky na letní byt a chlubila se, že z litru mléka z hajnovny udělá dva jako nic a ještě se Pražáci
olizují. Maminka říkala: „Je to hřích, takhle ty pány šidit, nabryndat jim vody!“ a proto přestala jí mléko prodávat.