Matematické Fórum

Sulfan · 29. 04. 2012 18:57

Ahoj,
řeším úlohu, pro které $\alpha \in \mathbb{R}$ je daná matice diagonalizovatelná - tj. pro které parametry $\alpha$ platí, že pro každé vlastní číslo $\lambda$ matice platí, že jeho algebraická násobnost (ozn. $\nu_{a}(\lambda)$ ) je rovna geometrické násobnosti tohoto vlastního čísla ( (ozn. $\nu_{g}(\lambda)$ ).

Zadání:
$\begin{pmatrix} \alpha & 0 & -\alpha\\ 0 & 0 & 0\\ -\alpha & 0 & \alpha \end{pmatrix}$

Charakteristický polynom je roven $p_{\mathbb{A}}(\lambda)=\lambda^{2}\cdot (2\alpha-\lambda)$ .

Rozlišil jsem případy:
1/ $\alpha = 0 \Leftrightarrow \text{jediné vlastní číslo } \lambda = 0$ a tudíž je $p_{\mathbb{A}}(\lambda)=\lambda^{3}$ a geometrická násobnost je

$3-dim\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) = 3$ tj $\nu_{a}(\lambda) = \nu_{g}(\lambda)=3$
Tj. v případě 1/ je diagonalizovatelná

2/ $\alpha \neq 0$ tj budou dvě vlastní čísla :
$\lambda_{1}=0$ a $2 = \nu_{a}(0)= \nu_{g}(0)=3-dim\bigl(\begin{smallmatrix} \alpha & 0 & -\alpha\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) = 3-1 = 2$

$\lambda_{2}=2\alpha$ a protože $\nu_{a}(2\alpha)=1$ tak i $\nu_{g}(2\alpha)=1$ .

Tj. i v případě 2/ je diagonalizovatelná

Vychází mi proto, že je diagonalizovatelná $\forall \alpha \in \mathbb{R}$ , ve výsledcích však píší, že je diag. jen pro $\alpha = 0$ ,. Poradíte mi, kde dělám chybu?

Děkuji.

Andrejka3 · 29. 04. 2012 23:03

Ahoj,
podle mě se pletou ve výsledcích.

Sulfan · 30. 04. 2012 15:30

↑ Andrejka3: Díky za odpověď, taky si to myslím, zkoušel jsem počítat konkrétně pro různá alfa a fungovalo :).

Andrejka3 · 30. 04. 2012 15:41

↑ Sulfan:
Charakteristická rovnice je správně, diskuze ohledně vlastních čísel taky a dimenze kořenových podprostorů příslušných vlastním číslům (říká se tomu tak, ne?) je taky správně.
Všechno máš hezky zapsané, jen mě ze začátku trochu zmátlo:
$3-dim\bigl(\begin{smallmatrix} 0 & 0 &0 \\ 0 & 0 & 0\\ 0& 0 & 0 \end{smallmatrix}\bigr) = 3$
dimenze (matice), ale došlo mi, že to je její hodnost a to celé je dimenze $\mathrm{Ker}(F-\lambda \mathrm{Id})$ , kde lambda je dané vlastní číslo a F je zkoumaný operátor.
Bohužel, i v dobrých učebnicích jsou chyby. A někdy to může studenty zaseknout :)
Tak ať se daří,
A.

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2012 18:57

Diagonalizovatelnost matice

#2 29. 04. 2012 23:03

Re: Diagonalizovatelnost matice

#3 30. 04. 2012 15:30

Re: Diagonalizovatelnost matice

#4 30. 04. 2012 15:41

Re: Diagonalizovatelnost matice

Zápatí