Matematické Fórum

terezkaaaaa5 · 29. 04. 2012 19:02

Dobrý den, poradíte mi prosím s touto rovnicí? Díky.

$v^{\sqrt{v}}=(\sqrt{v})^{v}$

dominiksuroviak

↑ terezkaaaaa5: $v^v^0,5=v^v/2$ ; $v^0,5=v/2$ ; $v=v^2/4$ ; $v^2/4-v=0$ ; $v1=4, v2=0$

Pričom sa to nule rovnať nesmie, takže výsledný koreň je 4

terezkaaaaa5 · 29. 04. 2012 19:24

↑ dominiksuroviak:

Díky, ale kořeny mají vyjít 4 a 1.

APavlat · 29. 04. 2012 19:30

Zdravím, řeší se prosím proměnná v reálném oboru?

terezkaaaaa5 · 29. 04. 2012 19:32

↑ APavlat:

ano:)

APavlat · 29. 04. 2012 19:42

pak mi tedy vychází po přepsání do tvaru $v^{\sqrt{v}}=v^{\frac{v}{2}}$ , že $2\cdot \sqrt{v}=v$ a tedy $v=4$ . Výpočet pro v = 1 je pro mě zatím intuitivní... nicméně určitě pravdivý viz. Odkaz

terezkaaaaa5 · 29. 04. 2012 19:46

↑ APavlat:

Určitě by se mělo logaritmovat a počítám, že vyjde nějaká kvadratická rovnice, příp. substituce. Al enevím si ardy, jak na to.

Pavel Brožek

↑ terezkaaaaa5:

Ahoj,

$v^{\sqrt{v}}=(\sqrt{v})^{v}$

můžeme přepsat jako

$v^{\sqrt{v}}=v^{\frac12v}.$

Funkce $v^x$ proměnné x (v>0) je prostá pokud $v\ne1$ . Toho využijeme tak, že řešení rozdělíme na dva případy:

1) $v=1$ . Stačí dosazením ověřit, že je to skutečně řešení.
2) $v\ne1$ . Díky prostotě platí, že pokud $v^x=v^y$ , pak musí být $x=y$ . Máme tedy

$\sqrt{v}=\frac12v.$

To už je jednoduchá rovnice, kterou jistě dokážeš řešit. A máme to bez logaritmování.

Pavel Brožek · 29. 04. 2012 20:07

Postup s logaritmováním:

$v^{\sqrt{v}}&=(\sqrt{v})^{v}\\ \ln $v^{\sqrt{v}}$&=\ln$(\sqrt{v})^{v}$\\ \sqrt v \ln $v$&=v \ln$\sqrt{v}$\\ \sqrt v \ln v&=\frac12v \ln v\\ $\sqrt v-\frac12v$ \ln v&=0$

Aby byl součin roven nule, stačí, aby byl jeden z činitelů roven nule.

terezkaaaaa5 · 29. 04. 2012 20:08

↑ Pavel Brožek:

Díky. ale v zadání je právě řešení přes logaritmování:)

APavlat · 29. 04. 2012 20:08

Děkuji, že jste to osvětlil i mě.

terezkaaaaa5 · 29. 04. 2012 20:23

↑ Pavel Brožek:

Díky. ale výsledek je 4 a 1 :)

APavlat · 29. 04. 2012 20:29

A dyť jo. :)
$\ln 1=0$ to je jedno řešení (v = 1)

$\sqrt{4}-\frac{4}{2}=0$ je druhé řešení (v = 4)

terezkaaaaa5 · 29. 04. 2012 20:34

↑ APavlat:

Díky:)

Matematické Fórum

#1 29. 04. 2012 19:02

Logaritmické a exponenciální rovnice

#2 29. 04. 2012 19:20 — Editoval dominiksuroviak (29. 04. 2012 20:09)

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#3 29. 04. 2012 19:24

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#4 29. 04. 2012 19:30

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#5 29. 04. 2012 19:32

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#6 29. 04. 2012 19:42

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#7 29. 04. 2012 19:46

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#8 29. 04. 2012 20:02 — Editoval Pavel Brožek (29. 04. 2012 20:02)

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#9 29. 04. 2012 20:07

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#10 29. 04. 2012 20:08

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#11 29. 04. 2012 20:08

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#12 29. 04. 2012 20:23

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#13 29. 04. 2012 20:29

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

#14 29. 04. 2012 20:34

Re: Logaritmické a exponenciální rovnice

Zápatí