Matematické Fórum

↑ Karkule:

Nejjednodušší způsob, jaký mě napadá, je opakované použití vzorce



Z toho je okamžitě vidět, že ve výsledku budou pouze kosiny a že k bude maximálně 7. Když si to rozmyslíme trochu víc, tak vidíme, že vzorec budeme používat v šesti krocích a po každém kroku budou v argumentech kosinů jen sudé nebo jen liché násobky x. Po šesti krocích tam tedy budou jen liché násobky x. Víme proto, že



pro nějaké konstanty A, B, C a D. Možná by bylo nakonec jednodušší nějak tohoto využít a dostat ty konstanty jinak než postupným aplikováním výše uvedeného vzorce.

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:

Ahoj, to bohužel nevypadá správně. Když už mám druhou mocninu



tak třetí spočítám následovně:



Na ten součin kosinů v závorce opět použiju vzorec pro součin kosinů



a dostanu tak



A tak postupuji dále.

ahojte,
len taký nápad na využitie toho čo je uvedené v ↑ Pavel Brožek:

nájsť koeficienty v      by sa mohlo zvolením vhodných štyroch  rôznych hodnôt tak,
aby sme dostali regulárny systém 4 rovníc o štyroch neznámych
vyriešiť potom ten systém mi príde ľahšie ako opakované použitie zmieneného vzorca,
možno aj menej náchylné na chyby

začal by som trebárs s a
z toho by vyšli rovnice a

odskúšané to nemám ale mám pocit že by to šlo dotiahnuť do úspešného konca

Hmn, tak nevím, je to strašně zamotané :(. Zkouším :



   - a teď tady tu druhou část opět rozložím podle toho vzorce a měla bych



takže pak


?

↑ Pavel Brožek:

ono to bude zrejme stále ťažšie a ťažšie s pribúdajúcou mocninou :)

ale teoreticky by to malo ísť vždy,
lebo nepárna mocnina kosínu je stále párna funkcia,
a je pre ľubovoľné takisto párna funkcia
súčin je potom tiež párna a nenulová (len pre , nepárne ) funkcia a
integrál cez (perióda funkcie pre ľubovoľné   je ) týchto súčinov (stále pre , nepárne)  je nenulový
z toho vyplynie existencia Fourierových koeficientov ktoré sú nenulové pre
z toho všetkého nie je iná šanca než že to budú zrovna koeficienty patriace k
pre funkciu kde je nepárne

takže ten regulárny systém musí existovať (aspoň mi to tak vychádza)

teraz už len, ako vhodne zvoliť postupnosť bodov tak aby sa dalo vždy ten systém odvodiť a pritom sa vyhnúť zbesilému integrovaniu podľa Fourierových vzťahov pre koeficienty?

↑ jardofpr:

To, že je n-tá (n přirozené, klidně i sudé) mocnina kosinu lineární kombinací kosinů s argumenty 0, x, … nx (s tím, že liché nebo sudé budou vynechány, podle toho, jestli je n sudé nebo liché) je zřejmé z toho vzorce pro součin kosinů. Přes teorii Fourierových řad musí vyjít to samé :-).

Snažím se ty koeficienty spočítat právě pomocí integrace, zdá se mi, že to bude jednodušší než hledat ty body, které dosadit, a pak řešit soustavu rovnic. Ale uvidíme :-).

↑ Dalsi Uzivatelske Jmeno:

Ano, vzorce najdeš na wikipedii.

↑ jardofpr:

Ne, já to řeším obecně, počítám



Dosazení n=125 pak už bude triviální :-). Ale nezdá se, že to půjde nějak dobře zintegrovat.

↑ jardofpr:

ti dá tu samou rovnici jako .

Tak jsem si nechal něco napočítat programem Mathematica a z toho uhádl (pravděpodobně správný) rozklad



To už by asi šlo dokázat indukcí :-).

↑ jardofpr:

Ten vzorec by měl platit pro libovolné přirozené n.

Edit: Před tím kombinačním číslem je koeficient, který je nulový pro lichá n. Není tedy podstatné, kolik to kombinační číslo vyjde (dá se ukázat, že bude konečné).

Edit2: Je samozřejmě potřeba pak použít zobecněnou definici kombinačního čísla pomocí gama funkcí. (Nebo to prostě jinak zapsat :-).)

Provedl jsem důkaz indukcí a opravdu to je správně. Omlouvám se, ale vypisovat ho sem nebudu, bylo by to moc a moc nudného psaní. Navíc v tom nejsou žádné geniální myšlenky, takže každý, kdo mi nevěří, si důkaz může provést sám :-).

Není příliš těžké spočítat integrál pomocí residuové věty. Možná to sem přes den dám. Rozhodně to je mnohem elegantnější řešení než uhádnout řešení a pak ho zdlouhavě dokazovat matematickou indukcí.