Matematické Fórum

tedddy · 30. 04. 2012 18:51

Dobrý den!

prosím o pomoc s touto goniometrickou rovnicí!

$1+\cos 4x=\cos 2x$

upravil jsem to jako: $1+\cos ^{2}2x-\sin ^{2}2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x$

$1+1-\sin ^{2}2x-\sin ^{2}2x=1-\sin ^{2}x-\sin ^{2}x$

z toho mi vyšlo: $\frac{1}{2}=\sin ^{2}2x-\sin ^{2}x$

teď už nevím co s tím, řekl bych, že mám chybu už někde předtím.

výsledek ( $\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{6}+k\pi ;\frac{5}{6}\pi +k\pi$ )

poradíte mi někdo prosím.

děkuju

Sulfan · 30. 04. 2012 18:58

Ahoj,

můžeš jeden člen rovnice ještě zkusit upravit následujícím způsobem:
$\sin^2(2x)=(2\sin(x)\cdot\cos(x))^2=4\sin^2(x)\cdot(\cos^2(x))=4\sin^2(x)\cdot(1-\sin^2(x))=4\sin^2(x)-4\sin^4(x)$

a použít substituci $u=\sin^2(x)$ .

Vznikne kvadratická rovnice s neznámou $u$ .

tedddy · 30. 04. 2012 19:15

ahoj↑ Sulfan:

takže si to mám přepsat jako $\frac{1}{2}=4\sin ^{2}x-4\sin ^{4}x-\sin ^{2}x$

potom by ta substituce byla $4u^{2}-3u+\frac{1}{2}=0$ ?

určitě jsem to někde poazil, protože takhle vyjde diskriminant nula, a já potřebuju výsledky 3, takhle myslím, že bych dostal dva :/

omluv moji nachápavost a zapoj svoji trpělivost!

děkuju

Sulfan · 30. 04. 2012 23:14 — Editoval Sulfan (30. 04. 2012 23:17)

Diskriminant D kvadratické rovnice je roven při standardním značení:
$\sqrt{D}= \sqrt{b^2-4ac} = \sqrt{3^2-8}=\sqrt{1}=1$

Dokážes dopočítat zbylé kořeny?

zdenek1 · 01. 05. 2012 01:00

↑ tedddy:
co to provádíte za manévry?
$1+\cos ^{2}2x-\sin ^{2}2x=\cos 2x$
$\underbrace{1-\sin ^{2}2x}_{\cos^22x}+\cos ^{2}2x=\cos 2x$
$2\cos^22x-\cos2x=0$
$\cos2x(2\cos2x-1)=0$