Matematické Fórum

Rozulinka · 28. 10. 2008 10:34

Ahoj, potřebovala bych pomoci s touto slovní úlohou. Myslím, že by se z toho měla sestavit kvadratická rovnice ale to vůbec nevím jak.

Pořadatel koncertu může prodat 20 000 lístků při ceně 100 Kč za jeden lístek. Předpokládá se, že při každém zvýšení ceny jednoho lístku o 10 Kč, prodá pořadatel 0 200 lístků méně. Jak má pořadatel stanovit cenu lístku, tak aby získal maximální příjem? Jaký bude tento maximální příjem a kolik lístků se prodá?

Chrpa · 28. 10. 2008 12:51 — Editoval Chrpa (28. 10. 2008 13:12)

↑ Rozulinka:
Ze zadání a z toho, že máme mít maximální zisk z prodeje musí platit:
$(20000-200n)(100+10n)\Rightarrow\,max$ kde n je počet zvýšení ceny lístku o 10 Kč a zároveň snížení prodeje lístků o 200 kusů
Rovnici upravíme:
$2000(100-n)(n+10)\Rightarrow\,max\nln^2-90n-1000\Rightarrow\,max$ rovnici derivujeme dle n a položíme rovnu nule (tím zjstíme maximum fce) tedy:
$(n^2-90n-1000)^/\nl2n-90=0\nln=45$
Vypočítané n dosadíme do původní rovnice a dostaneme:

$(20000-45\cdot 200)(100+10\cdot 45)=(20000-9000)(100+450)=11000\cdot 550=6050000$
Z toho tedy vyplývá, že 45 krát zvedneme cenu lístku o 10 Kč tj nová cena bude: $100+10\cdot 45=550 \textrm\,{Kc}$ a zároveň přijdeme tímto o prodej $200\cdot 45=9000\textrm\,{listku}$
Pak optimální prodej lístků s optimální cenou bude:
$11000\cdot 550=6050000\textrm\,{Kc}$

Prodáme tedy 11000 lístků za cenu 550 Kč a utržíme 6 050 000 Kč.

Rozulinka

↑ Chrpa:

My jsme ale ještě derivace neměli a nemělo by být místo $2000(100-n)(n+10)\Rightarrow\,max$ tohle $200(100-n)(n+10)\Rightarrow\,max$ ? A před tím (n+10) vytknuto 10?

Chrpa · 28. 10. 2008 13:49 — Editoval Chrpa (28. 10. 2008 13:52)

↑ Rozulinka:
Z první závorky původní rovnice vytknu 200 a dostanu $200(100-n)$ z druhé závorky vytknu 10 a dostanu $10(10+n)=10(n+10)$ což dohromady dává:
$200\cdot 10(100-n)(n+10)=2000(100-n)(n+10)$

Rozulinka · 28. 10. 2008 13:52

↑ Chrpa:

jo, už to vidím, díky

Chrpa · 28. 10. 2008 13:57 — Editoval Chrpa (28. 10. 2008 14:01)

↑ Rozulinka:
Pokud jste ještě neměli derivace nebo lépe řečeno ještě jste neprobírali extrémy funkce, pak to vidím jako malinký problémek s výpočtem.
Pak bych doporučil do té původní rovnice dosazovat za n a zkoušet pro jaké n bude tato funkce maximální.
Musí Ti vyjít n = 45
Postupoval bych takto:
Vypočítal bych fci pro n = 10
Pak pro n = 20 pořád by to rostlo
Zkusil bych n = 30, n = 40 n = 60 a tak bych se přibližoval ke kýženému n = 45

Rozulinka · 28. 10. 2008 14:06

↑ Chrpa:

a jak poznám, že ta fce je maximální, když to tam budu dosazovat, že to číslo (45) je správné?

Chrpa · 28. 10. 2008 14:12

↑ Rozulinka:
Dosadíš např. n =40 a dostaneš:
$(20000-8000)(100+400)=12000\cdot 500=6000000$
Teď dosadíš n = 50 a dostaneš:
$(20000-10000)(100+500)=10000\cdot 600=6000000$
Z tohoto je vidět, že maximum bude někde mezi $n\in(40\,;\,50)$
Snad jsem Ti to nezamotal ještě víc.

kaja.marik · 28. 10. 2008 14:12

vyuzil bych toho ze hledame maximum kvadraticke funkce. To bude ve vrcholu a vrchol je v pulce mezi koreny. Koreny vidim, protoze vyse to je rozlozene na soucin.

Rozulinka · 28. 10. 2008 14:22

Jo tak to je asi rychlejší přes ty kořeny, protože ty jsou jasný z tý rovnice, ale horší bude ji pak v testu sestavit.
Tak díky za vysvětlení

Matematické Fórum

#1 28. 10. 2008 10:34

Slovní úloha

#2 28. 10. 2008 12:51 — Editoval Chrpa (28. 10. 2008 13:12)

Re: Slovní úloha

#3 28. 10. 2008 13:05 — Editoval Rozulinka (28. 10. 2008 13:47)

Re: Slovní úloha

#4 28. 10. 2008 13:49 — Editoval Chrpa (28. 10. 2008 13:52)

Re: Slovní úloha

#5 28. 10. 2008 13:52

Re: Slovní úloha

#6 28. 10. 2008 13:57 — Editoval Chrpa (28. 10. 2008 14:01)

Re: Slovní úloha

#7 28. 10. 2008 14:06

Re: Slovní úloha

#8 28. 10. 2008 14:12

Re: Slovní úloha

#9 28. 10. 2008 14:12

Re: Slovní úloha

#10 28. 10. 2008 14:22

Re: Slovní úloha

Zápatí