Matematické Fórum

StenlyMAIT

Dobrý den,

potřeboval bych poradit, nasměrovat odkud začít a jak postupovat..

Vrcholem $[0,-3]$ elipsy $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}$ veďte tětivu, která má největší délku.

Děkuji.

vanok · 02. 05. 2012 09:48

Ahoj ↑ StenlyMAIT:,
Pouzi parametricku rovnicu elipsy.
Na osviezenie pamati, tu mas jej vseobecnu formu

[ $\qquad \begin{cases}x = u + a\cos t \\ y = v + b\sin t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$
Co to da v tvojom pripade?

A na koniec najdi hodnotu parametru t, aby tetiva mala maximalnu dlzku.

Honzc · 02. 05. 2012 10:54

↑ StenlyMAIT:
Druhý způsob.
Nejdelší tětiva bude taková, když z bodu $[0,-3]$ uděláme kružnici, která se bude elipsy z vnějšku dotýkat (to je bude s ní mít v jedné polorovině jeden společný bod). Pak poloměr takové kružnice bude zároveň délkou nejdelší tětivy z daného bodu.
$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1 \\ x^{2}+(y+3)^{2}=r^{2} \\ D=54^{2}-64(9r^{2}-34\cdot 9)=0 \\ r=d=\frac{25}{4}$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

StenlyMAIT

Děkuji za nápovědu, moc tomu zatím ale nerozumím ale našel jsem tohle..

$(\frac{x}{a})^2+(\frac{y}{b})^2=1$ kde a je délka hlavní poloosy (v našem případě a=5 ), b je délka vedlejší poloosy (b=3), [x,y] jsou souřadnice libovolného bodu elipsy (v našem případě to jsou souřadnice toho vrcholu? [0,-3] ???)

našel jsem že u elipsy $t \in (0,2\pi ]$ a je to excentrická anomálie ?

co je u,v jsem nenašel..

vanok napsal(a):
Ahoj ↑ StenlyMAIT:,
Pouzi parametricku rovnicu elipsy.
Na osviezenie pamati, tu mas jej vseobecnu formu

[ $\qquad \begin{cases}x = u + a\cos t \\ y = v + b\sin t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}$
Co to da v tvojom pripade?

A na koniec najdi hodnotu parametru t, aby tetiva mala maximalnu dlzku.

vanok · 02. 05. 2012 12:44

↑ StenlyMAIT:
(u;v) su suradnice stredu elipsy, cize v tomto pripade (0;0).

StenlyMAIT · 02. 05. 2012 12:58

potom mám rovnice:
$0=0+5\cos t \Rightarrow \cos t=0\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}$

$-3=0+3\sin t \Rightarrow \sin t=-1\Rightarrow t=\frac{3\pi }{2}$

je to správně?

vanok napsal(a):
↑ StenlyMAIT:
(u;v) su suradnice stredu elipsy, cize v tomto pripade (0;0).

Cheop · 02. 05. 2012 13:03 — Editoval Cheop (02. 05. 2012 14:14)

↑ Honzc:
Osobně si myslím, že řešením má být toto:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Honzc · 02. 05. 2012 14:28 — Editoval Honzc (03. 05. 2012 06:25)

↑ StenlyMAIT:
Ta tvá t jsou sice hezká, ale náš případ to neřeší.
Podle ↑ vanok: máš.
$x=5\cos t \\ y=3\sin t$
Dále vzdálenost bodu $C=[0,-3]$ od nějakého bodu na elipse (což je délka tětivy) bude:
$d=\sqrt{(x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}}= \\ \sqrt{(5\cos t-0)^{2}+(3\sin t+3)^{2}}$
Tato vzdálenost má být co největší. Tedy výraz zderivujeme podle t a derivaci položíme rovnu nule.
Z rovnice , která nám vyjde spočítáme t, respektive $\cos t$ a $\sin t$ a to dosadíme zpátky do vztahu pro d. A je to.

vanok · 02. 05. 2012 15:08 — Editoval vanok (02. 05. 2012 15:10)

↑ Honzc:,
Pozdravujem. Ano je to presne ako pises.

↑ StenlyMAIT:
o tom ako visualizovat parameter t, som pisal aj v prispevku #4 tu:
http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=44143

Mala poznamka
Ak nemas rad derivacie z odmocninamy, mozes hladat maximum $d^2$ na urcenie partametru $t_{max}$ (preco?)

Matematické Fórum

#1 02. 05. 2012 07:03 — Editoval StenlyMAIT (02. 05. 2012 09:12)

Vrcholem elipsy veďte tětivu

#2 02. 05. 2012 09:48

Re: Vrcholem elipsy veďte tětivu

#3 02. 05. 2012 10:54

Re: Vrcholem elipsy veďte tětivu

#4 02. 05. 2012 11:40 — Editoval StenlyMAIT (02. 05. 2012 11:50)

Re: Vrcholem elipsy veďte tětivu

vanok napsal(a):

#5 02. 05. 2012 12:44

Re: Vrcholem elipsy veďte tětivu

#6 02. 05. 2012 12:58

Re: Vrcholem elipsy veďte tětivu

vanok napsal(a):

#7 02. 05. 2012 13:03 — Editoval Cheop (02. 05. 2012 14:14)

Re: Vrcholem elipsy veďte tětivu

#8 02. 05. 2012 14:28 — Editoval Honzc (03. 05. 2012 06:25)

Re: Vrcholem elipsy veďte tětivu

#9 02. 05. 2012 15:08 — Editoval vanok (02. 05. 2012 15:10)

Re: Vrcholem elipsy veďte tětivu

Zápatí