Matematické Fórum

jay · 26. 10. 2008 23:05

Dobrého večera přeji,

chtěl poprosit o pomoc s následujícím příkladem:

$http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=%5Cmathop%7B%5Clim%7D%5Climits_%7Bx%20%5Cto%200%7D%20%3D%5Cfrac%7B3x%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7B8%2Bx%7D%20-%20%5Csqrt%5B3%5D%7B8-x%7D%7D$

Myslím si, že by se měl použít vztah $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=a%5E3%20-%20a%5E3%20%3D%20(a-b)*(a%5E2%20%2B%20ab%20%2B%20b%5E2)%20%20$ a zlomek rozšířit.

Bohužel si nevím rady jak dál.

Například s $http://www.sitmo.com/gg/latex/latex2png.2.php?z=100&eq=(%5Csqrt%5B3%5D%7B8%2Bx%7D)%5E2$

Díky za pomoc.

lukaszh

↑ jay:
Stačí použi? l'Hospitalovo pravidlo:
$\lim_{x\to0}\frac{3x}{\sqrt[3]{8+x}-\sqrt[3]{8-x}}=\lim_{x\to0}\frac{\left(3x\right)'}{\left(\sqrt[3]{8+x}-\sqrt[3]{8-x}\right)'}= \lim_{x\to0}\frac{3}{\frac{1}{3\sqrt[3]{(8+x)^2}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{(8-x)^2}}}=\frac{3}{\frac{1}{3\sqrt[3]{64}}+\frac{1}{3\sqrt[3]{64}}}=\frac{3}{\frac{1}{6}}=\boxed{18}$

P.S.: nikdy nepíš $\lim_{x\to a}=f(x)$ . To je taký istý nezmysel ako keby si napísal $\frac{\sin x}{\textrm{i}x}=\textrm{s\,n$ . Vždy sa píše $\lim_{x\to a}f(x)$

jay · 26. 10. 2008 23:27

Omlouvám se za nepřesnost při zadání - zapomněl jsem jsem říct, že je nám bohužel zapovězeno použít L'hospitalovo pravidlo, protože jsme se ještě oficiálně nedostali k derivacím. Jedná se o vzorový příklad z testu, který mne čeká v brzké době...

Olin · 26. 10. 2008 23:36

Ale jde to i přes to rozšiřování, jak správně uvádíš, pomocí vzorce pro rozdíl třetích mocnin.

$\lim_{x \to 0} \frac{3x}{\sqrt[3]{8+x} - \sqrt[3]{8-x}} = \lim_{x \to 0} \frac{3x \left [ \sqrt[3]{(8+x)^2} + \sqrt[3]{(8+x)(8-x)} + \sqrt[3]{(8-x)^2} \right ]}{(8+x) - (8-x)} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \left [ \sqrt[3]{(8+x)^2} + \sqrt[3]{(8+x)(8-x)} + \sqrt[3]{(8-x)^2} \right ]}{2} = 18$

Rozulinka

Můžu mít dotaz k tomuto příkladu?

Když nahoře jay píše, že by se měl použít vzorec $a^3-b^3=(a-b)*(a^2+ab+b^2)$ a Olin mu odpovídá, že ano, tak kde se v jeho výpočtu $\lim_{x \to 0} \frac{3x \left [ \sqrt[3]{(8+x)^2} + \sqrt[3]{(8+x)(8-x)} + \sqrt[3]{(8-x)^2} \right ]}{(8+x) - (8-x)}$ objevuje to $(a-b)$ ? Má tam nahoře v čitatli jen to $(a^2+ab+b^2)$

A v tom posledním kroku $\lim_{x \to 0} \frac{3 \left [ \sqrt[3]{(8+x)^2} + \sqrt[3]{(8+x)(8-x)} + \sqrt[3]{(8-x)^2} \right ]}{2}$ kam zmizelo x z čitatele a kde se vzala ta 2 ve jmenovateli? Vždy? přeci $(8+x)-(8-x)=0$

aritentd · 28. 10. 2008 18:21

↑ Rozulinka:

$(a-b)$ je v tomto pripade $\sqrt[3]{8+x}-\sqrt[3]{8-x}$ a proto pri vynasobeni $\frac{a^2+ab+b^2}{a^2+ab+b^2}$ dostava dole $a^3-b^3$

Jelikoz $(8+x)-(8-x)=2x$ x se pokrati a dole zustane dvojka.