Matematické Fórum

slonik · 03. 05. 2012 10:59

Omlouvám se, že opět otravuji a potřeboval bych zkontrolovat jeden příklad:
$|x^{2}-1|>2x-1$
Rozdělil jsem si ho na tři intervaly, spojil výsledky a vyšlo mi:
$K=(-nekon.;0)\cup (1+\sqrt{3};nekon.)$

marnes · 03. 05. 2012 11:02

↑ slonik:
Já bych odstranil AH - směry a pak řešil každý zvlášť

slonik · 03. 05. 2012 11:06

Asi ještě nejsem na takové úrovni, takže bohužel naprosto netuším, co jsou AH - směry, nešlo by to, prosím, tou klasickou metodou?

teolog · 03. 05. 2012 11:06 — Editoval teolog (03. 05. 2012 11:10)

↑ marnes:
Ten druhý interval ve výsledku je špatně.

Jinak jsem to řešil normálně přes nulové body. Vznikly tři intervaly a tři nerovnice.
a) $x\in(-\infty,-1\rangle$ $(-x+1)(-x-1)>2x-1$
b) $x\in(-1,1\rangle$ $(-x+1)(x+1)>2x-1$
c) $x\in (1,\infty)$ $(x-1)(x+1)>2x-1$

marnes · 03. 05. 2012 11:16 — Editoval marnes (03. 05. 2012 11:21)

↑ slonik:
Odstranit AH znamená zjistit, kdy je výraz tentýž a kdy opačný - to jsou ty dva směry. A pak řešit tyto situace zvlášť
1) $x^{2}-1>0$ pro interval $(-\infty ;-1\rangle\cup \langle1;\infty )$

pak řešíš $x^{2}-1>2x-1$

$x^{2}-2x>0$ řešení je $(-\infty ;0\rangle\cup \langle2;\infty )$ a musíš udělat průnik s $(-\infty ;-1\rangle\cup \langle1;\infty)$ , což je $(-\infty ;-1)\cup(2;\infty )$

+ druhé řešení, kdy je AH výraz opačný, to je už podobně

slonik · 03. 05. 2012 11:18 — Editoval slonik (03. 05. 2012 11:20)

↑ teolog:
Taky jsem to dělal tak a vyšlo mi:
a) $K_{1}=(-nekon;-2)$
b) $K_{2}=(-1;0)$

A ten poslední po úpravě:
$x^{2}-2x-2>0$
$D = 12$
$x_{1/2}=\frac{2\mp \sqrt{12}}{2}$
A po částečném odmocnění:
$x_{1}=1+\sqrt{3}$ $x_{2}=1-\sqrt{3}$
A z toho interval:
$K_{3}=(1+\sqrt{3};nekon.)$

Za vysvětlení toho AH děkuji, ale musím to dělat přes nulové body...

teolog · 03. 05. 2012 11:23 — Editoval teolog (03. 05. 2012 11:25)

↑ slonik:
Mně to vyšlo takto:
a) $x\in(-\infty,-1\rangle$
b) $x\in(-1,-1+\sqrt{3})$
c) $x\in(2,\infty)$

Tedy nakonec $x\in(-\infty,-1+\sqrt{3})\cup (2,\infty)$

slonik · 03. 05. 2012 11:36

↑ teolog:
Tak asi to bude správně, ale prostě nemůžu přijít na to, jak se k tomu dostat...

teolog · 03. 05. 2012 12:12 — Editoval teolog (03. 05. 2012 12:13)

↑ slonik:
OK, tak od začátku.
$|x^{2}-1|>2x-1$
$|(x-1)(x+1)|>2x-1$
$|x-1|\cdot|x+1|>2x-1$
Dva nulové body (-1,1) rozdělí reálnou osu na tři intervaly.

a) $x\in(-\infty,-1\rangle$
Nerovnice má tvar $(-x+1)(-x-1)>2x-1$ .
Po úpravě $x(x-2)>0$
Řešení této nerovnice je $(-\infty,0)\cup(2,\infty)$ . Vzhledem k intervalu, na kterém to řešíme je výsledek $x\in(-\infty,-1\rangle$ .

b) $x\in(-1,1\rangle$
Nerovnice má tvar $(-x+1)(x+1)>2x-1$ .
Po úpravě $x^2+2x-2<0$
Řešení této nerovnice je $(-1-\sqrt{3},-1+\sqrt{3})$ . Vzhledem k intervalu, na kterém to řešíme je výsledek $x\in(-1,-1+\sqrt{3})$ .

c) $x\in (1,\infty)$
Nerovnice má tvar $(x-1)(x+1)>2x-1$ .
Po úpravě x(x-2)>0
Řešení této nerovnice je $(-\infty,0)\cup(2,\infty)$ . Vzhledem k intervalu, na kterém to řešíme je výsledek $x\in(2,\infty)$ .

Nyní sjednotíme všechna dílčí řešení a dostaneme $x\in(-\infty,-1+\sqrt{3})\cup (2,\infty)$ .

slonik · 03. 05. 2012 12:48

Opravdu mockrát děkuji! Poté mám ještě jeden jednodušší příklad, kvůli kterému nechci zakládat zbytečně další téma, tak jestli by to moc nevadilo...
$|x+2|+|x-2|\le 4$
a) $\{-2\}$
b) $(2;2)$
c) $\{2\}$

$K=(-2,2)$

teolog · 03. 05. 2012 12:54

↑ slonik:
Moc nerozumím tom zápisu u a), b) a c).
Výsledek je téměř dobře. Interval by měl být uzavřený.

slonik · 03. 05. 2012 13:03

↑ teolog:
To a, b, c měly být výsledky intervalů po rozdělení na nulové body.

teolog · 03. 05. 2012 13:04

↑ slonik:
Jasně, už to chápu. Ale pak ten výsledný interval není dobře, protože právě ty hodnoty -2 a 2 neobsahuje.

slonik · 03. 05. 2012 13:08

↑ teolog:
Jojo, už jsem si to uvědomil, díky :)

slonik · 03. 05. 2012 16:47

Přijde mi to už docela drzé, ale mohl přece jen poprosit ještě o jeden příklad?

$\frac{|x|-1}{x^{2}-1}\ge \frac{1}{2}$

To jsem převedl na:

$2|x|-1\ge x^{2}-1$

A potom nevím... Můžu použít nulový bod, což je tady 0, nebo se to musí nějak jinak?

byk7 · 03. 05. 2012 16:53

↑ slonik:
Pro příště si založ nové téma.

Jinak si tam udělal hned2 chyby,
1) nemůžeš násobit nerovici výrazem $x^2-1,$ protože nevíš, jaké má znaménko,
2) $2\big(|x|-1\big)\neq2|x|-1\text{, ale }2|x|-2.$

Uprav si nerovnici do tvaru $f(x)\ge0,$ a potom můžeš použít nulový bod, rozdělíš si číselnou osu, odstraníš absolutní hodnotu, atd.

(Nezapomeň, že musíš vyloučit hodnoty, které splňují $|x|=1.)$

slonik · 03. 05. 2012 17:54

↑ byk7:
Pokud by to nevadilo, mohl byste mi, prosím, pomoci upravit nerovnici do toho $f(x)\ge0,$

zdenek1 · 03. 05. 2012 18:42

↑ slonik:
$\frac{|x|-1}{x^{2}-1}\ge \frac{1}{2}$
$\frac{|x|-1}{x^{2}-1}- \frac{1}{2}\ge0$
$\frac{2|x|-2-x^2+1}{2(x-1)(x+1)}\ge0$
$\frac{x^2-2|x|+1}{2(x-1)(x+1)}\le0$
$\frac{(|x|-1)^2}{2(x-1)(x+1)}\le0$

slonik · 03. 05. 2012 18:50

↑ zdenek1:
Mockrát děkuju! A teď můžu použít ty nulové body?

zdenek1 · 03. 05. 2012 18:52

↑ slonik:
Budeš muset.

slonik · 03. 05. 2012 19:11

↑ zdenek1:
Tak jsem to použil a vyšlo mi $K=(-\infty,-1)\cup (0,1)$

zdenek1 · 03. 05. 2012 19:42

↑ slonik:
tak to je špatně.
nula vůbec není nulový bod

slonik · 03. 05. 2012 20:44

Ale tak když je v absolutní hodnotě jenom x, tak je absolutní hodnota nulová v nule, ne?

jelena · 03. 05. 2012 21:48

↑ slonik:

Zdravím,

tipuji, že kolega Zdeněk má na mysli nulové body jednotlivých závorek v nerovnici $\frac{(|x|-1)^2}{2(x-1)(x+1)}\le0$ .

V čitateli je 2. mocnina, tedy výsledek vždy nezáporný (kladný nebo 0), tedy znaménko zlomku nalevo bude ovlivňovat jen jmenovatel.

V pořádku? Děkuji.

slonik · 03. 05. 2012 22:02

↑ jelena:
Naprosto v pořádku, mockrát díky :)

Matematické Fórum

#1 03. 05. 2012 10:59

Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#2 03. 05. 2012 11:02

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#3 03. 05. 2012 11:06

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#4 03. 05. 2012 11:06 — Editoval teolog (03. 05. 2012 11:10)

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#5 03. 05. 2012 11:16 — Editoval marnes (03. 05. 2012 11:21)

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#6 03. 05. 2012 11:18 — Editoval slonik (03. 05. 2012 11:20)

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#7 03. 05. 2012 11:23 — Editoval teolog (03. 05. 2012 11:25)

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#8 03. 05. 2012 11:36

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#9 03. 05. 2012 12:12 — Editoval teolog (03. 05. 2012 12:13)

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#10 03. 05. 2012 12:48

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#11 03. 05. 2012 12:54

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#12 03. 05. 2012 13:03

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#13 03. 05. 2012 13:04

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#14 03. 05. 2012 13:08

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#15 03. 05. 2012 16:47

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#16 03. 05. 2012 16:53

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#17 03. 05. 2012 17:54

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#18 03. 05. 2012 18:42

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#19 03. 05. 2012 18:50

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#20 03. 05. 2012 18:52

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#21 03. 05. 2012 19:11

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#22 03. 05. 2012 19:42

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#23 03. 05. 2012 20:44

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#24 03. 05. 2012 21:48

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

#25 03. 05. 2012 22:02

Re: Kvadratická nerovnice s absolutní hodnotou

Zápatí