Matematické Fórum

↑ Kubi:
Otázce b/ nerozumím, jak může mít čtyřúhelník hrany ? :-(

↑ Kubi:Takhle bych řešila viditelnost stran, ale nejsem si jista. :

Zdravím vás :-)

Takovou úlohu na střední škole jsem viděla snad jednou (pravdou je, že před analytickou geometrii zavírám oči :-) Tak jsem vybavovala, kde to bylo a bylo to u počítačových grafiků (snad někdo z místních odborníků se ozve a umístí lepší odkaz).

Můj odkaz je zde: http://is.muni.cz/el/1433/podzim2006/MB … ;kod=MB103

Postup pro viditelnost spočíval v tom, že zvolime 2 body, co určuji úsečku (např. A, B) a sestavim trojuhelník PBA (obcházím čtyřuhelník proti směru hodinových ručiček) najdu vektory BP (2, 9), AP (-1, 5) a sestavim matici takto: (vektory tvoří sloupce):

  2  -1

  9  5   

Vypočtu determinant - pokud je kladný - úsečku vídim,
pokud je determinant 0, body A, B, P jsou na jedné přímce - úsečku nevidim,
pokud je záporný, úsečku nevidim.

DC dle obrazku "nevidim" (ověřím to - vektor DP (-2, 7), CP (3, 9)

  -2   3

   7   9   determinant je záporny - opravdu "nevidim"

V odkazu, který uvádím, je i postup pro výpočet obsahu (viz str. 26 a dál)

Je to trošku srozumitelné?

↑ Ivana:

Ivano, hezký večer :-)

Odkaz je PDF (nevím, proč nejde otevřit) - zkusím překopírovat alespon kapitolku o viditelnosti :

1.46. Viditelnost v rovine. Predchozí popis hodnot pro orientovaný objem nám
dává do rukou elegantní nástroj pro urcování viditelnosti orientovaných úsecek.
Orientovanou úseckou rozumíme dva body v rovine R2 s urcením poradím. Mužeme
si ji predstavovat jako šipku od prvého k druhému bodu. Taková orientovaná úsecka
nám rozdeluje rovinu na dve poloroviny, ríkejme jim „levouÿ a „pravouÿ.
Jestliže uvažujeme obvyklou orientaci „proti smeru hodinových rucicekÿ pro
hranici mnohoúhelníku, pak pozorovatel nalevo od orientované úsecky (tj. uvnitr
takového mnohoúhelníka) tuto vidí a naopak pozorovatel napravo ji nevidí. Má tedy
smysl ptát se, jestli je orientovaná úsecka [A,B] v rovine viditelná z bodu C.
Spocteme orientovanou plochu príslušného trojúhelníku zadaného vektory A−C
a B−C. Pokud jsme s bodem C nalevo od úsecky, pak pri naší orientaci bude vektor
A−C dríve než ten druhý a proto výsledná plocha (tj. hodnota determinantu) bude
kladná. To odpovídá situaci, kdy úsecku vidíme. Naopak, pri opacné poloze bude
výsledkem záporná hodnota determinantu a podle zjistíme, že úsecku nevidíme.
Uvedený jednoduchý postup je casto využíván pro testování polohy pri standardních
úlohách v 2D grafice.


1.49. Viditelnost stran trojúhelníka. Je dán trojúhelník s vrcholy [5, 6], [7, 8],
[5, 8]. Urcete, které jeho strany je videt z bodu [0, 1].
Rešení. Usporádáme vrcholy v kladném smyslu, tedy proti smeru hodinových rucicek:
[5, 6], [7, 8], [5, 8]. Pomocí príslušných determinantu urcíme, je-li bod [0, 1]
„nalevoÿ ci „napravoÿ od jednotlivých stran trojúhelníka uvažovaných jako orientované
úsecky, 
7 5
7 7  > 0

5 5
7 5  < 0

5 7
5 7  = 0

Z nulovosti posledního determinantu vidíme, že body [0, 1], [5, 6] a [7, 8] leží na
prímce, stranu [5, 6][7, 8] tedy nevidíme. Stranu danou vrcholy [5, 8] a [7, 8] pak
narozdíl od strany [5, 6][5, 8] nevidíme. 

1.50. Príklad. Urcete, které strany ctyrúhelníka s vrcholy [95, 99], [130, 106],
[40, 60], [130, 120]. jsou viditelné z bodu [2, 0].
Rešení. Nejprve je treba urcit strany ctyrúhelníka („správné poradí vrcholu):
[95, 99][40, 60][130, 106][130, 120]. Po spocítání príslušných determinantu (viz prednáška)
zjistíme, že jsou videt pouze strana [40, 60][130, 106]. 

Třeba někdo z kolegů má lepší odkaz - ten můj je taková pracovní verze :-)



↑ Chrpa:
Tak jsem si to přepočítala a je to tak. Vyšel mně úhel, který svírají úhlopříčky 73,739°. Pro jistotu jsem si obdélník i narýsovala s danými rozměry 3cm a 4 cm  a úhel, který svírají úhlopříčky je 74°. Děkuji za radu. Hezký sváteční večer. :-)