Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
❗22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
❗04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
❗23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

Stránky: 1

 

#1 03. 05. 2012 13:19 — Editoval tedddy (03. 05. 2012 14:39)

tedddy
Příspěvky: 121
Reputace:   0 
 

goniometrické rovnice!

Dobré odpoledne!

Už docela dlouho počítám přípravu na maturitu z matiky! Ze 60 goniometrických rovnic mně zbyly ještě 4!

rovnice typu (je to v jedné sadě úloh, takže se to bude řšit dost podobně):

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$

$\sin x+\cos x=2$ řekl bych že nemá řešení! aspoň v $\mathbb{R}$  myslím.

$4\sin x+2\cos x=\sqrt{2}$

$\sin x+\cos x=\cos2x$

prosím o radu alespoň s jednou, zbytek už me snad napadne!

mockrát děkuji za pomoc!

Offline

  • (téma jako vyřešené označil(a) tedddy)

#2 03. 05. 2012 14:15

Takjo
Místo: Český Brod
Příspěvky: 1052
Škola: ČVUT FSI (abs. 1984)
Reputace:   75 
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ tedddy:
Dobrý den,
rovnice $4\sin x+2\sin x=\sqrt{2}$  je asi překlep že, to by bylo příliš jednoduché... :)

Offline

 

#3 03. 05. 2012 14:21 — Editoval Cheop (03. 05. 2012 14:34)

Cheop
Místo: okres Svitavy
Příspěvky: 8209
Škola: PEF VŠZ Brno (1979)
Pozice: důchodce
Reputace:   366 
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ tedddy:
První příklad viz: Stejný princip

Nikdo není dokonalý

Offline

 

#4 03. 05. 2012 14:38 — Editoval tedddy (03. 05. 2012 14:38)

tedddy
Příspěvky: 121
Reputace:   0 
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ Takjo:

skutečně překlep! děkuji za upozornění!

edituji!

Offline

 

#5 03. 05. 2012 14:46

tedddy
Příspěvky: 121
Reputace:   0 
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ Cheop:

děkuju, zkusím podle toho udělat i ty ostatní!

Offline

 

#6 03. 05. 2012 14:55

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 12436
Reputace:   897 
Web
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ tedddy:
$\sin x+\cos x=2$ vynásobit celou rovnici $\frac{\sqrt2}2$ a stejný trik jako u 1. (skutečně nemá řešení)

jiná možnost: umocnit celou rovnici na druhou
$\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=4$
$\sin2x=3$ -> nemá řešení  (obecně ale umocňování nebývá dobrý nápad)

Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#7 03. 05. 2012 15:01

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 12436
Reputace:   897 
Web
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ tedddy:
$\sin x+\cos x=\cos2x$
trik alá 1. nebude přímo fungovat, ale
$\sin x+\cos x=\cos^2x-\sin^2x=(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)$
$(\sin x+\cos x)(\sin x-\cos x+1)=0$
$\sin x=-\cos x$ -> $\tan x=-1$
nebo
$\sin x-\cos x+1=0$ a trik už půjde.

Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#8 03. 05. 2012 15:30 — Editoval BakyX (03. 05. 2012 15:31)

BakyX
Cat Lover & S.O.A.D. Lover
Příspěvky: 3416
Škola: UPJŠ
Pozice: Študent
Reputace:   158 
 

Re: goniometrické rovnice!

Iný všeobecnejší postup riešenia prvých troch rovníc je takýto (napríklad na prvom príklade)

$\sin x+\sqrt{3}\cos x=1$

Vyjadríš si napríklad $\sin x$:

$\sin x = 1 - \sqrt{3} \cos x$

Umocníš na druhú (NEEKVIVALENTNÁ ÚPRAVA, JE TREBA UROBIŤ SKÚŠKU)

$\sin^2 x = (1-\sqrt{3} \cos x)^2$

Použiješ vzťah $\sin^2 x = 1-\cos^2 x$:

$1-\cos^2 x = (1-\sqrt{3} \cos x)^2$

Z tejto vyrovnice vypočítaš $\cos x$ a z toho $x$. Následne urobíš skúšku.

Tento postup je oveľa všeobecnejší ako úprava do tvaru $\sin (x+a) = b$ (pretože vyrieši všetky rovnice v tvare $a \sin x + b \cos x = c$, nielen tie "pekné". Zároveň nevyžaduje rozmýšlanie :)

POZNÁMKA:

Druhá rovnica sa dá vyriešiť jednoduchšie. Platí:

$1 \ge |\sin x|$ a $1 \ge |\cos x|$, tj $2 \ge |\sin x| + |\cos x| \ge \sin x + \cos x$. Rovnosť nastane, len keď $\sin x = \cos x = 1$, čo nie je možné.

Pri tej poslednej rovnici je treba použiť vzorec $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, potom vzorec pre rozklad $a^2-b^2$ a následne upraviť rovnicu do súčinového tvaru.

1^6 - 2^6 + 3^6 = 666

Offline

 

#9 03. 05. 2012 15:40

tedddy
Příspěvky: 121
Reputace:   0 
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ zdenek1:

výborně, děkuju! a moc dík za tu radu s tím umocňováním.

jste fakt BOREC !

Offline

 

#10 03. 05. 2012 15:44

zdenek1
Administrátor
Místo: Poděbrady
Příspěvky: 12436
Reputace:   897 
Web
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ tedddy:
$4\sin x+2\cos x=\sqrt{2}$
Tak tohle je chuťovka. Trik nepomůže. Musel bys celou rovnici vydělit $\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$
a dostal bys
$\frac2{\sqrt5}\sin x+\frac1{\sqrt5}\cos x=\frac1{\sqrt{10}}$
a to ti nepomůže, protože nemáš tabulkové hodnoty. Takže se používá druhý postup.
Uděláš substituci $x=2a$
$4\sin2a+2\cos2a=\sqrt2$
$8\sin a\cos a+2(\cos^2a-\sin^2a)=\sqrt2(\sin^2a+\cos^2a)$ a vydělíš rovnici $\cos^2a$
$(2+\sqrt2)\tan^2a-8\tan a+\sqrt2-2=0$
řešením této kvadratické rovnice dostaneš
$\tan a=\frac{4\pm3\sqrt2}{2+\sqrt2}$
$\tan a_1=1+\sqrt2\ \Rightarrow\ a_1=\arctan(1+\sqrt2)+k\pi\ \Rightarrow\ x_1=2\arctan(1+\sqrt2)+2k\pi$
$\tan a_2=7-5\sqrt2\ \Rightarrow\ a_2=\arctan(7-5\sqrt2)+k\pi\ \Rightarrow\ x_2=2\arctan(7-5\sqrt2)+2k\pi$

Pořádek je pro blbce, inteligent zvládá chaos!

Offline

 

#11 03. 05. 2012 15:56

tedddy
Příspěvky: 121
Reputace:   0 
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ BakyX:

děkuju, skvělá rada! musíte mít všichni ohromné zkušenosti!

Offline

 

#12 03. 05. 2012 16:00 — Editoval tedddy (03. 05. 2012 16:01)

tedddy
Příspěvky: 121
Reputace:   0 
 

Re: goniometrické rovnice!

↑ zdenek1:

:D tak ten je fakt pěknej :D opravdu se těším, až si něco podobného vytáhnu u maturity :D

↑ zdenek1: hrozně moc děkuju, muselo Vám to dát hrozný práce kterou si snad ani nezasloužím!!

mockrát děkuju

Offline

 

 

Stránky: 1

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson