Matematické Fórum

easy · 04. 05. 2012 15:57 — Editoval easy (04. 05. 2012 16:06)

Zdravím,

poradil by mi prosím někdo jak dokončil tento epsilon delta dukaz?

EN: Give an (ϵ, δ) proof that $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10-x^2}}$ is continuous at $x = -1$ .

CZ: Použije (ϵ, δ) důkaz, že $f(x) = \frac{1}{\sqrt{10-x^2}}$ je spojitá pro $x = -1$ .

Podle definice funkce je spojitá v bodě když $\lim_{x\to a} f(x) = f(a)$ . Pak tedy $\lim_{x\to -1} \frac{1}{\sqrt{10-x^2}} = \frac{1}{3}$ .

Podle epsilon-delta definice:
Když $|x-a|<\varepsilon$ pak $|f(x) - f(a)| < \delta$ .Tedy
if $|x-(-1)|<\varepsilon$ then $|{\frac{1}{\sqrt{10-x^2}} - \frac{1}{3}}| < \delta$ .

Hledaní hodnoty delta která by splňovala definici:

$|{\frac{1}{\sqrt{10-x^2}} - \frac{1}{3}}| < \delta$
$|{\frac{3-\sqrt{10-x^2}}{3\sqrt{10-x^2}}}| < \delta$
$|{\frac{9-(10-x^2)}{3\sqrt{10-x^2} \cdot (3 + \sqrt{10-x^2})}}| < \delta$ .
$|{\frac{(x+1)(x-1)}{3\sqrt{10-x^2} \cdot (3 + \sqrt{10-x^2})}}| < \delta$
$|{{x+1}}| < \delta |\frac{{3\sqrt{10-x^2} \cdot (3 + \sqrt{10-x^2})}}{x-1}|$

Pokud zafixuju a v maximální vzdálenosti 1 od x, pak
$|x+1| < 1$
$-3 < x-1 < -1$ z čehož vyplývá, že x-1 (ve jmenovateli) může být maximálně abs(-3) = 3.

Jen nevím, jak pokračovat s čitatelem $3\sqrt{10-x^2} \cdot (3 + \sqrt{10-x^2})$ .

Poradil by někdo? Nebo na to jdu úplně špatně?

Děkuji.

Rumburak · 04. 05. 2012 16:49

↑ easy:

Ahoj .

Je potřeba si uvědomit i příslušnou "slovní omáčku" toho důkazu.
Zvolil sis $\delta > 0$ a máš nalézt $\varepsilon > 0$ takové, aby platila implikace

$|x-(-1)|<\varepsilon \Rightarrow \left|{\frac{1}{\sqrt{10-x^2}} - \frac{1}{3}}\right| < \delta$ .

(Obvykle se uvedená řecká písmena používají v opačných rolích, ale respektujme Tvoji volbu.)

Postup je ten, že se řeší "výsledná" nerovnice $\left|{\frac{1}{\sqrt{10-x^2}} - \frac{1}{3}}\right| < \delta$ pro neznámou $x$ :

$-\delta < \frac{1}{\sqrt{10-x^2}} - \frac{1}{3} < \delta$ ,
(1) $\frac{1}{3}-\delta < \frac{1}{\sqrt{10-x^2}} < \frac{1}{3} + \delta$ .

V dalším bude výhodné, aby "levé křídlo" této složené nerovnice bylo kladné - toho docílíme vhodným zpřísněním pořadavku na $\delta > 0$
(které není na újmu obecnosti). Nyní můžeme nerovnici (1) umocnit na druhou a úpravami dostaneme

$10-\left(\frac{1}{3}-\delta\right)^{-2}<x^2<10-\left(\frac{1}{3}+\delta\right)^{-2}$ ,

odtud buďto

$\sqrt{10-\left(\frac{1}{3}-\delta\right)^{-2}}<x<\sqrt{10-\left(\frac{1}{3}+\delta\right)^{-2}}$

nebo

(2) $-\,\,\sqrt{10-\left(\frac{1}{3}+\delta\right)^{-2}}<x<-\,\,\sqrt{10-\left(\frac{1}{3}-\delta\right)^{-2}}$ .

S ohledem na okolí bodu -1 nás dále bude zajímat nerovnice (2) . Číslo $\varepsilon > 0$ volíme tak, aby této nerovnosti vyhovovala
čísla $x= -1\pm \varepsilon$ .

easy · 04. 05. 2012 16:57

Děkuji za odpoved.

Omylem jsem prohodil ty symboly, za to se omlouvám. Ohledně toho řešení, tento způsob řešení se mi libí mnohem víc než řešení popsané v učebnici (Calculus by James Stewart, 6E). Projdu si to celé ještě jednou a kdyby bylo něco nejasné tak se ozvu.

Ještě jednou díky za odpoved.

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2012 15:57 — Editoval easy (04. 05. 2012 16:06)

Epsilon-delta dukaz spojitosti

#2 04. 05. 2012 16:49

Re: Epsilon-delta dukaz spojitosti

#3 04. 05. 2012 16:57

Re: Epsilon-delta dukaz spojitosti

Zápatí