Matematické Fórum

definičný obor derivácie je množina tých bodov v ktorých má pôvodná funkcia vlastnú deriváciu

Ahoj,
myslím, že byk7 měl na mysli jinou věc, než na kterou jste (↑ Carolina:, ↑ jarrro:) mu odpověděli. Odpověděli jste na to, jaký definiční obor bude mít nějaká konkrétní zderivovaná funkce v závislosti na definičním oboru původní funkce, což se samozřejmě liší funkce od funkce.

Dotaz ale dle mého názoru byl na definiční obor zobrazení, které nějaké funkci přiřadí jinou funcki, která je její derivaci na maximálním možném intervalu (což je pravděpodobně myšleno tou "selskou derivací"). To, že toto zobrazení je taky funkce je třeba ale ověřit. Tzn., že chceme aby platilo, že ke každé funkci existuje nejvýše jedna funkce, která je její derivací na maximálním možném intervalu. Tady ale nastává problém, neboť se může stát, že pro nějaký bod, pro který je definována původní funkce už nebude definována její derivace. V extrémním případě se dokonce může stát, že tato derivace nebude definována v žádném bodě a jak teď máme chápat takovou "funkci"? Můžeme považovat všechny "funkce", které nejsou definované v žádném bodě jako ten samý prvek nějaké množiny?, Pokud ne, pak naše zobrazení není funkce a pokud ano, dal by se zřejmě za definiční obor "operace derivování", teď už jako funkce, považovat prostor všech funkcí, ale to už je jen otázka definice, která zřejmě nemá praktický význam.
Obdobné problémy by se musely řešit při vyšetřování oboru hodnot.

Proto se obvykle touto otázkou zajímáme ve spojitosti pouze s nějakou rozumnou (tj. dobře diferencovatelnou na celém definičním oboru původní funkce) podmnožinou všech funkcí, např. množinou všech polynomů stupně nejvýše n apod., viz. lineární algebra a vektorové prostory.

Je to možné v případě, že si nějak zaškatulkujeme funkce, které nejsou definovány v některých bodech, ale pak moc nemá smysl se takovou otázkou zabývat. Jak jsem psal, je rozumné zabývat se pouze např. polynomy.