Matematické Fórum

mishelle17 · 05. 05. 2012 14:11

Vysvětlete princip přímého důkazu výroku p ⇒ q a proveďte přímý důkaz věty:
Jestliže čísla (b+c)^-1, (c+a)^-1, (a+b)^-1 jsou po sobě jdoucími členy aritmetické posloupnosti, pak čísla a^2,b^2, c^2 jsou po sobě jdoucím členy aritmetické posloupnosti.
________________________________________________________________________________
Mohli byste mi to prosím někdo poradit vyřešit, za a) nevim vubec jak se dělá přímý důkaz a nevím jak bych to spojila s těmi posloupnostmi. Děkuju

Aquabellla · 07. 05. 2012 07:52

↑ mishelle17:

Přímý důkaz máš například vysvětlen zde.

Co se týče aritmetické posloupnosti, tak pro libovolné tři po sobě jdoucí členy platí:
$a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ - takto je definován diferenciál.
A jelikož $a_1 = \frac{1}{b + c}$ , $a_2 = \frac{1}{c + a}$ , $a_3 = \frac{1}{a + b}$ , musí pro ně platit stejný vztah.
Takže:
$\frac{1}{c + a} - \frac{1}{b + c} = \frac{1}{a + b} - \frac{1}{c + a}$
Převést zlomky na společného jmenovatele:
$\frac{b + c - c - a}{(c + a)(b + c)} = \frac{c + a - a - b}{(a + b)(c + a)}$
Upravím:
$\frac{b - a}{(b + c)} = \frac{c - b}{(a + b)}$
$(b - a)(a + b) = (c - b)(b + c)$
$b^2 - a^2 = c^2 - b^2$

Pokud vezmeš tato čísla jako členy aritmetické posloupnosti: $a_1 = a^2$ , $a_2 = b^2$ , $a_3 = c^2$ , tak pro ně musí opět platit vzoreček $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$ , ke kterému jsme došli předchozí úpravou: $b^2 - a^2 = c^2 - b^2$

Takže jsme přímou cestou ukázali, že věta platí.

Matematické Fórum

#1 05. 05. 2012 14:11

Matematický důkaz - přímý

#2 07. 05. 2012 07:52

Re: Matematický důkaz - přímý

Zápatí