Matematické Fórum

iDedik · 04. 05. 2012 09:57

Je možné, aby sa 4 rovnalo 5?
"Dôkaz:"

$-20 = -20$
$16 - 36 = 25 - 45$
$4^{2} - 9,4 = 5^{2} - 9,5$
$4^{2} - 9,4 + (\frac{9}{2})^{2} = 5^{2} - 9,5 + (\frac{9}{2})^{2}$
$(4-\frac{9}{2})^{2} = (5 - \frac{9}{2})^{2}$
$\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{(5-\frac{9}{2})^{2}}$
$4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}$
$4=5$

Viem že tam niekde je chyba len ja ju neviem nájsť, vedel by mi niekto povedať kde tá chyba je?

Za odpoveď vopred ďakujem.

Siroga · 04. 05. 2012 10:11 — Editoval Siroga (04. 05. 2012 10:11)

$\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \pm (4-\frac{9}{2} )$

marnes · 04. 05. 2012 10:14

↑ iDedik:
Dle mého je to proto, že jsou používány neekvivalentní úpravy - umocňování

Siroga · 04. 05. 2012 10:19 — Editoval Siroga (04. 05. 2012 10:19)

↑ marnes: ekvivalentní úprava tohodle řádku $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{(5-\frac{9}{2})^{2}}$ je : $-(4-\frac{9}{2})=5-\frac{9}{2}$ a $4-\frac{9}{2}=-(5-\frac{9}{2})$

peter_2+2

Ten problém vznikl už tady

$4^{2} - 9*4 + (\frac{9}{2})^{2} = 5^{2} - 9*5 + (\frac{9}{2})^{2}$

$(4-\frac{9}{2})^{2} = (5 - \frac{9}{2})^{2}$

$(-\frac{1}{2})^{2} = (+\frac{1}{2})^{2}$

Ale je to zajimavý i tak.

Siroga · 05. 05. 2012 12:02

↑ peter_2+2: kde v téhle části je problém nebo chyba ?

Pavel Brožek

↑ peter_2+2:

Nevznikl, všechny tři rovnosti, které uvádíš, platí.

↑ iDedik:

Obecně pro reálné x platí $\sqrt{x^2}=|x|$ . Takže řádek

$\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{(5-\frac{9}{2})^{2}}$

bychom nejlépe asi přepsali jako

$\left|4-\frac{9}{2}\right| =\left|5-\frac{9}{2}\right|,$

což samozřejmě platí.

↑ Siroga:

Siroga napsal(a):
$\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \pm (4-\frac{9}{2} )$

Tohle bych bez dalšího komentáře nepsal, protože s tím plusem to prostě neplatí. Asi jsi tím chtěl říct, že nastane jedna z možností, buď plus nebo mínus.

Siroga napsal(a):
↑ marnes: ekvivalentní úprava tohodle řádku $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{(5-\frac{9}{2})^{2}}$ je : $-(4-\frac{9}{2})=5-\frac{9}{2}$ a $4-\frac{9}{2}=-(5-\frac{9}{2})$

Místo spojky a bych použil spojku nebo, protože musí nastat alespoň jedna z těch možností, ne obě.

↑ marnes:

V neekvivalentních úpravách problém není. Máme předpoklad, který je zřejmě pravdivý (-20=-20). I důsledkovými úpravami z něj nemůžeme dostat tvrzení, které je nepravdivé. Problém tady je v chybné úpravě.

Siroga · 05. 05. 2012 14:42

↑ Pavel Brožek: $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \pm (4-\frac{9}{2} )$ tímhle sem chtěl napsat že existuje i řešení s minusem nejen s plusem jak uvádí první post ale lépe to asi vystihuje $\sqrt{x^2}=|x|$ , co se týče myho dalšího příspěvků tak já bych tam ponechal spojku a jelikož nepisu co bude v dalším řádku ale ekvivalentní úpravy výrazu $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{(5-\frac{9}{2})^{2}}$ .

Pavel Brožek · 05. 05. 2012 14:55

↑ Siroga:

To s plusem ale není řešení, takže nemůžeš říct, že existuje řešení i s mínusem. Ono to s mínusem je jediné možné.

K tomu druhému příspěvku – omlouvám se, přehlédl jsem tam mínusko, myslel jsem, že jsi chtěl napsat

ekvivalentní úprava tohodle řádku $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{(5-\frac{9}{2})^{2}}$ je : $4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}$ nebo $4-\frac{9}{2}=-(5-\frac{9}{2})$

Siroga · 05. 05. 2012 15:09

↑ Pavel Brožek: $4-\frac{9}{2}=-(5-\frac{9}{2})$ tohle je s plusem a platí ne? ;)

Pavel Brožek

↑ Siroga:

$\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \pm (4-\frac{9}{2} )$

Když tady vezmu +, tak to neplatí, není pravda, že

$\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = +(4-\frac{9}{2} )$

Edit: Pokud samozřejmě neuvažujeme odmocninu jako víceznačnou funkci, jak se to občas dělá v komplexní analýze. Ale jsme v sekci základní školy, takže tohle bych nechal stranou.

Siroga · 05. 05. 2012 15:18

$\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = +(4-\frac{9}{2} )$ ↑ Pavel Brožek: s tímhle souhlasím že to není jediný řešení , ale jde o to že i tohle jde ploužit pro řešení, jen práva strana pak nevypadá $5-\frac{9}{2}$ ale $-(5-\frac{9}{2})$

Pavel Brožek · 05. 05. 2012 15:20

↑ Siroga:

Ano, když dvakrát uděláš chybu (tj. napíšeš $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = +(4-\frac{9}{2} )$ a zároveň $\sqrt{(5-\frac{9}{2})^{2}} = -(5-\frac{9}{2} )$ ), tak nakonec dostaneš opět pravdivé tvrzení. Dělat ale chyby, které se ve výsledku vyruší, není v matematice moc spolehlivý postup :-).

Siroga · 05. 05. 2012 15:28

↑ Pavel Brožek: nedělám chybu, vypisují možná řešení radek $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \sqrt{(5-\frac{9}{2})^{2}}$ se dá v dalším kroku zapsat jako : $4-\frac{9}{2}=5-\frac{9}{2}$ , $-(4-\frac{9}{2})=5-\frac{9}{2}$ , $4-\frac{9}{2}=-(5-\frac{9}{2})$ a $-(4-\frac{9}{2})=-(5-\frac{9}{2})$ jen 2 z toho jsou ale ekvivalentní úpravy.

Pavel Brožek · 05. 05. 2012 15:36

↑ Siroga:

V tomhle s tebou v podstatě souhlasím, tj. napíšeš tyhle čtyři možnosti a řekneš, že alespoň jedna z nich je správně (nakonec budou správně dvě). Ale nikdy nemůžeš tvrdit, že výrok $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = +(4-\frac{9}{2} )$ je sám o sobě je pravdivý a používat ho. Pravdivý výrok je „ $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = +(4-\frac{9}{2} )$ nebo $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = -(4-\frac{9}{2} )$ “.

Siroga · 05. 05. 2012 15:45 — Editoval Siroga (05. 05. 2012 15:47)

↑ Pavel Brožek: ale já je nepoužil jednotlivé , já právě napsal že správná úprava je $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \pm (4-\frac{9}{2} )$ a ne $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = +(4-\frac{9}{2} )$ jal je tomu v prvním příspěvků

Pavel Brožek · 05. 05. 2012 16:27

↑ Siroga:

Ano, původně jsem se přesně toto snažil jen upřesnit, chtěl jsem říct, že $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = \pm (4-\frac{9}{2} )$ znamená „ $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = +(4-\frac{9}{2} )$ nebo $\sqrt{(4-\frac{9}{2})^{2}} = -(4-\frac{9}{2} )$ “. S tím předpokládám souhlasíš.

Ty ses ale snažil ještě ↑ tady: vysvětlit, jak jsi to myslel. Podle mě ale ne zrovna šťastně, proto jsem to začal dál víc rozebírat. Pokusím se to napsat ještě jinak na analogickém příkladu.

Mějme rovnici $1+3=2+2$ (která jistě platí). Jistě platí i následující tvrzení:

„1+3=4 nebo 1+3=5“
„2+2=4 nebo 2+2=7“

Musí tedy platit i tvrzení

„4=4 nebo 4=7 nebo 5=4 nebo 5=7“.

To skutečně platí, díky tomu, že platí 4=4. Ostatní rovnosti jsou neplatné, ale to pro pravdivost celého výroku není podstatné. V případě, kde jsme postupovali dvakrát špatně nám vyšlo 5=7, tedy nepravdivé tvrzení. V tvém případě náhodou vyšlo jako pravdivé. Ale vůbec tomu tak nemuselo být. Pravdivost těch čtyř výroků spojených spojkou nebo je zaručena tím dvakrát správným postupem, ne tím dvakrát špatným.

Takže když píšeš „tímhle sem chtěl napsat že existuje i řešení s minusem nejen s plusem jak uvádí první post“, tak já k tomu dodávám, že to, že to vychází i s mínusem, je jen náhoda (pro tuhle úlohu s absolutní hodnotou to tak prostě vychází) a vůbec to tak nemuselo dopadnout.

peter_2+2

↑ Siroga: ↑ Pavel Brožek:
Tím slovem problém jsem měl samozřejmě namysli to, jak si to vysvětlit, že to tak je.

Předpokládám, že nikdo nebude řešit rovnici -20=-20, takže si myslím, že autor měl na mysli vysvětlení, jak je to možné a to muselo vzniknout už po těch krocích, které jsem uvedl, což je podle mě celkem problém vysvětlit :).

Dalo by se to shrnout, určitě né do puntíku vysvětlit, tím, že zkrátka dvě stejná čísla jde rozepsat jako dvojici až na znamínka různých základů druhých mocnin a tato každá dvojice pak jako rozdíl dvou různých čísel. Což je zdrojem toho, proč to na první pohled vypadá absurdně.

Siroga · 05. 05. 2012 17:46

↑ Pavel Brožek: ale chyba tam není, jen to asi neumím až tak srozumitelně vysvětlit jak to vidím v hlavě já, prostě v rovnící $2^2=(-2)^2$ která se odmocni na $\sqrt{2^2}= \sqrt{(-2)^2}$ existuje správné řešení které má na leve straně 2 i -2, ale práva strana není pro 2 a -2 na levé straně stejná .

Pavel Brožek · 05. 05. 2012 17:57

↑ Siroga:

Když mám rovnici

$\sqrt{2^2}= \sqrt{(-2)^2},$

tak mohu upravit levou stranu

$2= \sqrt{(-2)^2},$

pak pravou

$2= 2$

a dostanu to co chci. Nemůžu ale říct, že upravím levou stranu na

$-2= \sqrt{(-2)^2},$

a pak pravou stranu

$-2= -2$

a že je to dobrý postup. Tohle může být jedině součástí nějakého rozvětvení postupu, kde větve budou spojeny spojkou nebo a jiná větev postupu zajistí, že celá disjunkce výroků bude pravdivá. Tahle větev je pak ale nepodstatná a je jedno, jestli její výsledek náhodou vyšel správně.

Já myslím, že už je zbytečné se v tom dál víc pitvat, ty to asi chápeš. Jen je asi tahle forma komunikace přes fórum trochu nevhodná (a zdlouhavá) na ujasnění si toho, jak kdo co myslíme.

Matematické Fórum

#1 04. 05. 2012 09:57

4 sa rovná 5?

#2 04. 05. 2012 10:11 — Editoval Siroga (04. 05. 2012 10:11)

Re: 4 sa rovná 5?

#3 04. 05. 2012 10:14

Re: 4 sa rovná 5?

#4 04. 05. 2012 10:19 — Editoval Siroga (04. 05. 2012 10:19)

Re: 4 sa rovná 5?

#5 05. 05. 2012 11:06 — Editoval peter_2+2 (05. 05. 2012 11:07)

Re: 4 sa rovná 5?

#6 05. 05. 2012 12:02

Re: 4 sa rovná 5?

#7 05. 05. 2012 12:07 — Editoval Pavel Brožek (05. 05. 2012 12:21)

Re: 4 sa rovná 5?

Siroga napsal(a):

Siroga napsal(a):

#8 05. 05. 2012 14:42

Re: 4 sa rovná 5?

#9 05. 05. 2012 14:55

Re: 4 sa rovná 5?

#10 05. 05. 2012 15:09

Re: 4 sa rovná 5?

#11 05. 05. 2012 15:13 — Editoval Pavel Brožek (05. 05. 2012 15:18)

Re: 4 sa rovná 5?

#12 05. 05. 2012 15:18

Re: 4 sa rovná 5?

#13 05. 05. 2012 15:20

Re: 4 sa rovná 5?

#14 05. 05. 2012 15:28

Re: 4 sa rovná 5?

#15 05. 05. 2012 15:36

Re: 4 sa rovná 5?

#16 05. 05. 2012 15:45 — Editoval Siroga (05. 05. 2012 15:47)

Re: 4 sa rovná 5?

#17 05. 05. 2012 16:27

Re: 4 sa rovná 5?

#18 05. 05. 2012 17:11 — Editoval peter_2+2 (05. 05. 2012 19:02)

Re: 4 sa rovná 5?

#19 05. 05. 2012 17:46

Re: 4 sa rovná 5?

#20 05. 05. 2012 17:57

Re: 4 sa rovná 5?

Zápatí