Matematické Fórum

vivicko

Nevím si rady s příkladem: Nalezněte v Gaussově rovině množinu bodů splňujících soustavu rovnic $\cdo Re\frac{4+2i}{z}\cdot Im\frac{4+2i}{z}$ a $(z-5i)\cdot (\bar{z}+5i)=25$ . Nevím kudy se do toho pustit. Děkuji za pomoc :)

barbora87 · 28. 04. 2012 15:10

nema se nahodou ta prvni rovnice rovnat necemu? treba 0?
za z dosadis, z=a+bi, a rovnici upravis. To same u druhe rovnice, a upravis ji dle vzorce $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ chapem?

vivicko · 28. 04. 2012 21:09

ahoj, děkuji za odpověĎ. vyšlo mi b(3a - 3b +10)=0. b1 = 0 a1 libovolné, a2=b2-10/3. Ale když to dosadím do těch rovnic, tak mi to nevychází. Asi jsem se někde přepočítala, ale stále mi to vychází stejně, tak nevím... Mohl by to prosím někdo vypočítat a poslat mi výsledek. Byla bych vám moc vděčná.

Bati · 28. 04. 2012 22:17 — Editoval Bati (29. 04. 2012 01:49)

Ahoj,
u té druhé rovnice si stačí uvědomit, že $\overline{z-5i}=\overline{z}+5i$ a že $z\overline{z}=|z|^2$ , tudíž ta rovnice říká, že $|z-5i|=5$ , což odpovídá kružnici se středem v 5i o poloměru 5. Co říká ta první rovnice nevím, protože jí kus chybí.

vivicko · 28. 04. 2012 23:53

↑ Bati: první rovnice je taky rovna nule

Bati · 29. 04. 2012 01:35 — Editoval Bati (29. 04. 2012 01:55)

Potom tedy první rovnice říká, že číslo $\frac{4+2i}{z}$ je buď reálné nebo ryze imaginární (nula to být nemůže, neboť $4+2i\neq0$ ).

Takže buď $\frac{4+2i}{z}=k\quad k\in\mathbb{R}$ , nebo $\frac{4+2i}{z}=li\quad l\in\mathbb{R}$ .

vivicko · 29. 04. 2012 09:41

↑ Bati: chápu sice, že je buď ryze imaginární nebo reálné, ale nevím, jak mi to pomůže při hledání řešení :(

vivicko · 06. 05. 2012 21:41

ahoj,
stále jsem se nedopracovala k výsledku. Mohl by mi prosím někdo ještě poradit?
Velice děkuji

zdenek1 · 07. 05. 2012 10:41

↑ vivicko:
hledáš kompl. č. ve tvaru $z=x+yi$
výraz $\frac{4+2i}{x+yi}=\frac{(4+2i)(x-yi)}{x^2+y^2}=\frac{4x+2y}{x^2+y^2}+i\frac{2x-4y}{x^2+y^2}$

podle podmínky od Bati
$4x+2y=0$ nebo $2x-4y=0$ a $[x;y]\ne[0;0]$

graf jsou dvě přímky $y=-2x$ a $y=\frac x2$ bez bodu $[0;0]$