Matematické Fórum

poly-filip · 06. 05. 2012 19:52

Dobrý den potřebuji pomoc mám vypočítat Z´x,Z´y,Z´´xy z funkce $z^{3}+2xy+y=0$ ty první derivace jsou poměrně fajn ale derivace podle xy už opravdu nevím. derivace podle x´ $=-\frac{2y}{3z^{2}}$ a derivace podle y´= $=-\frac{2x}{3z^{2}}$ děkuji za každou radu

Rumburak

Ahoj.

Nejsem si jist, zda jsem správně pochopil to zadání. Ale pokud se měly počítat parc. derivace funkce $z(x,y)$ , která je implicitně určena rovnicí

(1) $z^{3}+2xy+y=0$ ,

pak zde není problém vyjádřit funkci $z(x,y)$ explicitně: $z(x,y) = -\sqrt[3]{2xy+y}$ a dál už postupovat jako u explicitně zadané funkce.

Ale můžeme i derivovat rovnici (1) - např. podle $x$ takto :

(2) $3z^{2}z_x+2y=0$ ,
$z_x = -\frac{2y}{3z^{2}}= -\frac{2y}{3\left(\sqrt[3]{2xy+y}\right)^2}$ ,

obdobně podle $y$ :

$3z^{2}z_y+2x + 1=0$ ,
$z_y = -\frac{2x+1}{3z^{2}}= -\frac{2x+1}{3\left(\sqrt[3]{2xy+y}\right)^2}$ ,

Derivací (2) podle $y$ dostaneme

$6zz_yz_x + 3z^2z_{xy}+2=0$ ,

sem dosadíme již známé funkce $z, z_x, z_y$ a z takto vzniklé rovnice vypočteme již jedinou neznámou $z_{xy}$ .

Obdobně při výpočtu dalších derivací druhého řádu.

poly-filip

Zadání je zde :

otázka číslo 2b

já myslel že se to počítá podle těchto vzorců
fx´=derivace podle x / derivace podle z
fy´= derivace podle y/ derivace podle z

(omlouvám se že jsem to nedal do LaTeX. editoru ale vždy mi to napsalo chybu)

Rumburak

↑ poly-filip:
Do svého předchozího příspěvku jsem ještě něco doplnil.

poly-filip · 07. 05. 2012 11:11

Děkuji, vzorce jak jsem psal jsou tedy v pořádku jen do nich za $z$ musím dosadit vyjádřené $z$ které dostanu ze zadání.(asi jsi tam zapomněl napsat -). Ale už nevím jak jsi dostal : $6zz_yz_x + 3z^2z_{xy}+2=0$

Rumburak · 07. 05. 2012 11:32

↑ poly-filip:

Derivoval jsem podle $y$ rovnici $3z^{2}z_x+2y=0$ . Že derivace pravé strany je 0, je jasné. Derivace levé strany:

$(3z^{2}z_x+2y)_y= (3z^{2}z_x)_y + (2y)_y = (3z^{2})_yz_x + 3z^{2}(z_x)_y + 2 = 6zz_yz_x + 3z^{2}z_{xy} + 2$ .

Použil jsem: větu o derivaci součtu, větu o derivaci součinu, větu o derivaci složené funkce.

Možná Tě mate moje označení $f_x$ pro PD fce f podle x, narozdíl od novodobě někdy zaváděného $f'_x$ apod. ;
Mně to tradiční značení "bez čárky nad f" připadá přehlednější.

poly-filip · 07. 05. 2012 11:48

Děkuji moc za vysvětlení zapomněl jsem použít větu o derivování součinu ;)

Matematické Fórum

#1 06. 05. 2012 19:52

Implicitní funkce-derivace

#2 07. 05. 2012 10:26 — Editoval Rumburak (07. 05. 2012 10:54)

Re: Implicitní funkce-derivace

#3 07. 05. 2012 10:40 — Editoval poly-filip (07. 05. 2012 10:47)

Re: Implicitní funkce-derivace

#4 07. 05. 2012 10:55 — Editoval Rumburak (07. 05. 2012 11:00)

Re: Implicitní funkce-derivace

#5 07. 05. 2012 11:11

Re: Implicitní funkce-derivace

#6 07. 05. 2012 11:32

Re: Implicitní funkce-derivace

#7 07. 05. 2012 11:48

Re: Implicitní funkce-derivace

Zápatí