Matematické Fórum

monicka201092 · 07. 05. 2012 12:48

prosím pomohli by ste mi s dôkazom: dokážte že funkcia f(x)= sin(x) + sin $\sqrt{x}$ nie je periodická

Rumburak · 07. 05. 2012 14:37

Definičním oborem fce $f(x)= \sin x + \sin \sqrt{x}$ je interval $D = \langle 0, +\infty)$ .
Předpokládejme, že $p > 0$ je její periodou. To znamená, že pro každé $x \in D$ je

(1) $f(x+p) = f(x)$ .

Pro $x=0$ odtud dostáváme $f(p) = f(0)$ , neboli

(2) $\sin p + \sin \sqrt{p} = 0$

(protože $f(0) = \sin 0 + \sin \sqrt{0} = 0$ ). Z (2) pak plyne $\sin p = - \sin \sqrt{p}$ , to je možné, pokud existuje celé číslo $k$ takové, že buďto

(3) $p = -\sqrt{p} + 2k\pi$

nebo

(4) $p = \pi +\sqrt{p} + 2k\pi$ .

Z (1) pro $x=p$ dále plyne $f(2p) = f(p) = 0$ (poslední rovnost už máme dokázánu výše), to je možné (obdobně jako prve), pokud existuje
celé číslo $n$ takové, že buďto

(5) $2p = -\sqrt{2p} + 2n\pi$

nebo

(6) $2p = \pi +\sqrt{2p} + 2n\pi$ .

Zkus odvodit spor. (Jde o to vyvrátit celkem 4 případy: $(3) \wedge (5)$ , $(4) \wedge (5)$ , $(3) \wedge (6)$ , $(4) \wedge (6)$ .)

Ale je možné, že někdo příjde s lepším nápadem.

monicka201092 · 07. 05. 2012 17:34

ďakujem :-)

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2012 12:48

Dôkazy

#2 07. 05. 2012 14:37

Re: Dôkazy

#3 07. 05. 2012 17:34

Re: Dôkazy

Zápatí