Matematické Fórum

ajucha · 07. 05. 2012 12:00

Mám soustavu:
logx+logy=2
2^(logx)*3^(logy)=sqrt54
Nějak si s tím nevím rady, zkoušela jsem to tak, že jsem si vyjádřila logx=2-logy a dosadila jsem to do ruhé rovnice, ale pak mi tam vychází jiný základ...
poradil by jste mi někdo, jak se to počítá?:)

Rumburak · 07. 05. 2012 12:17

Zkus rovnici 2^(logx)*3^(logy)=sqrt54 zlogaritmovat.

ajucha · 07. 05. 2012 13:46

↑ Rumburak:
tím je myšleno toto?
logx+logy=2
logx*log2*logy*log3=sqrt54

poté dosadit: (2-logy)log2*logy*log3=sqrt54
2logylog3log2-logy^2*log3log2=sqrt54

a dále? nevím...

Cheop · 07. 05. 2012 13:59

↑ ajucha:
Tím je myšleno toto:
$\log\,x\cdot\log\,2+\log\,y\cdot\log\,3=\frac{\log\,54}{2}$
Ještě malá nápověda:
$\log\,54=3\log\,3+\log\,2$

ajucha · 07. 05. 2012 14:35

↑ Cheop:
a podle čeho poznám, že log54=3log3+log2??
zkusila jsem si tedy za log54 dosadit,ale fakt nevím....

Cheop · 07. 05. 2012 14:39 — Editoval Cheop (07. 05. 2012 15:04)

↑ ajucha:
$\log\,54=\log(27\cdot 2)=\log 27+\log2\\\log 27=\log 3^3=3\log 3$

$\log x+\log y=2\\2^{\log x}\cdot 3^{\log y}=\sqrt{54}$
$\log x\cdot \log 2+\log y\cdot \log 3=\frac{3\log 3+\log 2}{2}\\(2-\log y)\log 2+\log y\cdot \log 3=\frac{3\log 3+\log 2}{2}\\2\log 2-\log y\cdot\log 2+\log y\cdot \log 3=\frac{3\log 3+\log 2}{2}\\\log y(\log 3-\log 2)=\frac{3\log 3+\log 2-4\log 2}{2}\\\log y(\log 3-\log 2)=\frac{3(\log 3-\log 2)}{2}\\\log y=\frac 32\\\log y=\log 10^{\frac 32}\\y=10^{\frac 32}\\y=\sqrt{1000}\\y=10\sqrt{10}$
$\log x=2-\log y\\\log x=\frac 12\\x=10^{\frac 12}\\x=\sqrt{10}$
Řešení:
$x=\sqrt{10}\\y=10\sqrt{10}$

ajucha · 07. 05. 2012 15:22

↑ Cheop:
děkuju :) ale kdyz provedu zkousku, tak to nevychazi :/

Cheop · 07. 05. 2012 16:09 — Editoval Cheop (07. 05. 2012 16:14)

↑ ajucha:
$\log x+\log y=2\\\log(\sqrt{10})=\log(10)^{\frac 12}=\frac 12\log 10=0,5\\\log(\sqrt{1000})=\log(1000)^{\frac 12}=\frac 12\log 10^3=\frac 32\log 10=1,5\\0,5+1,5=2$ první rovnice platí
$2^{\frac 12}\cdot 3^{\frac 32}=\sqrt 2\cdot 3\sqrt 3=3\cdot\sqrt 6\\\sqrt{54}=\sqrt{9\cdot 6}=3\sqrt 6$
Druhá rovnice platí
Co je tedy špatně?

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2012 12:00

soustava logaritmických rovnic

#2 07. 05. 2012 12:17

Re: soustava logaritmických rovnic

#3 07. 05. 2012 13:46

Re: soustava logaritmických rovnic

#4 07. 05. 2012 13:59

Re: soustava logaritmických rovnic

#5 07. 05. 2012 14:35

Re: soustava logaritmických rovnic

#6 07. 05. 2012 14:39 — Editoval Cheop (07. 05. 2012 15:04)

Re: soustava logaritmických rovnic

#7 07. 05. 2012 15:22

Re: soustava logaritmických rovnic

#8 07. 05. 2012 16:09 — Editoval Cheop (07. 05. 2012 16:14)

Re: soustava logaritmických rovnic

Zápatí