Matematické Fórum

StessiR · 07. 05. 2012 20:59

Prosím o pomoc vyřešení.
Napište rovnici kružnice, která má střed v bodě S[-5,4] a dotýká se přímky P: 3x - 4y + 6 = 0

Takjo · 07. 05. 2012 21:06

↑ StessiR:
Dobrý večer,
bodem S veďte přímku q, kolmou na přímku p.
Tam kde $q\cap p$ je bod A.
Vzdálenost $|SA|=r$
Potom dosaďte do středové rovnice kružnice: $(x-m)^{2}+(y-n)^{2}=r^{2}$

StessiR · 07. 05. 2012 21:45

Dobrý večer,

takže si to musím narýsovat, než začnu počítat??? To nejde vypočítat dle vzorečků???
Případám si, jak blbec... maturovala jsem z matematiky, ale bohužel jsem tohle brala
naposledy na gymnáziu a to je pár let (14)... nyní jsem se dala na stará kolena na
studium a nějak mi to mozeček nebere :-(

Cheop · 07. 05. 2012 22:00 — Editoval Cheop (07. 05. 2012 22:09)

↑ StessiR:
Rovnice kružnice se středem $S=(-5;\,4)$ bude mít rovnici:
$(x+5)^2+(y-4)^2=r^2$
Vzdálenost středu od přímky $3x-4y+6=0$ bude poloměrem (r) kružnice (tak kružnice se má této přímky dotýkat)
Obecně pro vzdálenost bodu A=(x_0; y_0)od přímky ax+by+c=0 platí
$d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Pro náš případ:
$r=\frac{|3\cdot(-5)-4\cdot 4+6|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\\r=\frac{|-15-16+6|}{\sqrt{9+16}}\\r=\frac{25}{5}\\r=5$
Rovnice kružnice:
$(x+5)^2+(y-4)^2=25$

StessiR · 07. 05. 2012 22:08

Moc moc moc děkuji.... zajímavé je, že algebru jsem nezapomněla :-)))
Ještě jednou děkuji :-)

elypsa · 07. 05. 2012 22:11 — Editoval elypsa (07. 05. 2012 22:16)

Dobrý den,

Takjo je offline, proto si dovolím zaskočit.

Máme přímku p: 3x - 4y + 6 = 0
z tohoto předpisu jsme schopni vyčíst normálový vektor této přímky: (3;-4). Chceme přímku kolmou k této přímce to znamená, že musíme tento vektor převést na směrový: (4;3)
Směrový vektor je vektor normálový ke kolmici na tutu přímku proto tedy normálový vektor přímky q je (4;3).

Dosadíme to do obecného vzorce pro přímku:
4x-3y+c=0

vadí nám tam parametr c, proto využijem toho, že přímka q prochází bodem S.
Souřadnice bodu S dosadíme do 4x-3y+c=0
S[-5;4]. Proto
$4(-5)-3*4+c=0\\c=32$
To znamená
4x-3y+32=0

Nyní hledáme průsečík přímky p a q.
p: 3x - 4y + 6 = 0
q:4x-3y+32=0

Řešíte soustavu rovnic o dvou neznámých (x;y).
Získáme souřadnice bodu $T[\frac{-110}{7};\frac{-72}{7}]$

Nyní stačí zjistit vzdálenost bodu T od S a tím získáme poloměr r.
A poté jen dosadit do předpisu pro kružnici.

Další možnost je využít vzorce vzdálenost bodu od přímky $http://upload.wikimedia.org/wikipedia/cs/math/b/e/0/be04cf368673e73179c47e31c0a18274.png$

Edit: ↑ Cheop: to vzal přes zmiňovaný vzorec a byl rychlejší :), ale nechám to tu už jen kvůli sobě. S touto metodou od Takjo jsem se setkal prvně a byť není nejrychlejší, tak se na ní dá mnoho zopakovat.

Jinak přeji hodně štěstí na vysoké.

StessiR · 07. 05. 2012 22:29

Moc moc děkuji a držte mi palce... při třech dětech jako mazec :-D

Matematické Fórum

#1 07. 05. 2012 20:59

Kuželosečky

#2 07. 05. 2012 21:06

Re: Kuželosečky

#3 07. 05. 2012 21:07 Příspěvek uživatele Hanis byl skryt uživatelem Hanis. Důvod: Takjo mě předběhl... alternativní řešení :-)

#4 07. 05. 2012 21:45

Re: Kuželosečky

#5 07. 05. 2012 22:00 — Editoval Cheop (07. 05. 2012 22:09)

Re: Kuželosečky

#6 07. 05. 2012 22:08

Re: Kuželosečky

#7 07. 05. 2012 22:11 — Editoval elypsa (07. 05. 2012 22:16)

Re: Kuželosečky

#8 07. 05. 2012 22:29

Re: Kuželosečky

Zápatí