Matematické Fórum

Honza90 · 07. 05. 2012 20:27

Dobrý den, potřebuji pomoci s tímto příkladem. Snažím vypočítat periodu pomocí m, R, r a k, ale zůstává mi tam pořád x. Určitě je v tom nějaký chytrý a jednoduchý trik, ale nemůžu na něj přijít. Díky.
Odkaz

zdenek1 · 07. 05. 2012 22:23

↑ Honza90:
$M=J\varepsilon$
$kyr=J\frac{a_t}r$ trik je v tom, že pro malé kmity platí $a_t=\omega^2y$ (pro velikosti), $a_t$ je tečné zrychlení bodu, v němž je upevněná pružina
$kyr=mR^2\frac{\omega^2y}r$
$\omega=\frac rR\sqrt{\frac km}$

nebo ZZE
Kolo pootočíme tak, že se pružina natáhne na $y_m$ a uvolníme
natažená pružina má energii
$E_p=\frac12ky_m^2$
při průchodu rovnovážnou polohou se tato energie přemění na kintickou energii rotačního pohybu
$E_k=\frac12J\Omega_m^2$ , kde $\Omega$ je úhlová rychlost otáčení kola - není totožné s $\omega$ - úhlovou frekvencí harm. pohybu
Podle ZZE
$\frac12ky_m^2=\frac12J\Omega_m^2$
protože $v_m=\Omega_m r=\omega y_m$ (v_m je maximální rychlost bodu upevnění pružiny a zase využíváme toho, že se jedná o harmonický pohyb) $\Omega_m=\frac{\omega y_m}r$
$\frac12ky_m^2=\frac12mR^2\left(\frac{\omega y_m}r\right)^2$
atd.

Honza90

↑ zdenek1:
Paráda, díky. Tak teď nevím proč to učitel řešil přes diferenciální rovnici...

Ještě bych se zeptal. Když bych měl vyznačit všechny síly, které v obrázku působí, tak tam bude jenom síla pružiny směřující proti směru pohybu?

zdenek1 · 08. 05. 2012 14:31

↑ Honza90:

Tak teď nevím proč to učitel řešil přes diferenciální rovnici?

Nenapadlo mě, že je to vysokoškolský příklad. Samozřejmě, diferenciální rovnicí je to čistší, protože v mém postupu předpokládáš několik nesamozřejmých věcí. Děláš aproximace, které teprve diferenciální počet opravedlňuje.

$J\ddot\varphi=-kyr$ to je jen jinak zapsaná první rovnice.
$y=r\sin\varphi$
Protože se jedná o malé kmity, můžeme provést linearizaci ( $\sin\varphi\doteq \varphi$ ) a dostaneme
$J\ddot\varphi+kr^2\varphi=0$ (1)
to je klasická rovnice harmonického pohybu, takže můžeme očekávat řešení
$\varphi =A\sin (\omega t+\varphi _0)$
vypčítáme
$\ddot\varphi =-A\omega^2\sin (\omega t+\varphi _0)$
a dosadíme zpět do rovnice (1)
$-JA\omega^2\sin (\omega t+\varphi _0)+kr^2A\sin (\omega t+\varphi _0)=0$
$A[kr^2-J\omega^2]\sin (\omega t+\varphi _0)=0$
protože $\sin (\omega t+\varphi _0)$ je funkce, která nabývá všech hodnot z intervalu $\langle-1;1\rangle$ a $A\ne0$ , rovnice může být splněna pro všechna $t$ pouze když
$kr^2-J\omega^2=0$