Matematické Fórum

Pavel · 30. 10. 2008 15:38

Chtěl bych ostatní kolegy požádat o důkaz tvrzení, že Riemannův integrál z Riemannovy funkce (v racionálních bodech "sněží", v iracionálních "už dosněžilo" :-) ) je na libovolném intervalu roven 0. Díky.

Olin · 30. 10. 2008 16:32

Co je mi známo, tak takováto funkce není integrovatelná v Riemannově smyslu… Nemáš spíš na mysli Lebesgueův integrál?

Ale radši bych na můj názor nedávál, přece jen je to už docela dlouho co jsem se babral tady v těchto záležitostech a nikdy to nebylo nějak do hloubky.

Marian · 30. 10. 2008 16:40

↑ Olin:

Ale ano, je integrovatelná v klasickém Riemannově smyslu a hodnota integrálu této funkce je rovna skutečně nule. Možná si to pleteš s Dirichletovou funkcí (tj. s charakteristickou funkcí racionálních čísel), která není Riemannovsky integrovatelná, nicméně v Lebesgueově smyslu existuje integrál Dirichletovy funkce.

↑ Pavel:
Zkusím nějaký důkaz uveřejnit, už jsem sáhl pro správnou knihu.

Marian · 30. 10. 2008 17:39 — Editoval Marian (30. 10. 2008 17:48)

↑ Pavel:
Takže v knize jsem něco našel, ale moc se mi to nelíbilo, tak jsem to modifikoval. Hlavní myšlenka jsem zachoval, a tou je bisekční proces intervalu [0,1]. Je jasné, že tvrzení stačí dokázat pro tento interval, pro jiné intervaly můžeme použít linearitu Riemannova integrálu (tj. aditivní a homogenní vlastnost).

Vycházím z definice Riemannova integrálu v této podobě:
Definice. Číslo
$(R)\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x$
nazýváme Riemannovým integrálem funkce f(x) na uzavřeném intervalu [a,b], jestliže ke každému epsilon>0 existuje index N(epsilon) tak, že pro [te] n\ge N(\varepsilon )[/tex] platí
$\left | \frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\xi _i)-(R)\int_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x \right |<\varepsilon$
nezávisle na tom, jako volíme čísla $\xi _i\in [x_{i-1},x_i],\quad i=1,\dots ,n$ , kde $a=x_0<x_1<\cdots <x_{n-1}<x_n=b$ jsou ekvidistantní body, které dělí uzavřený interval [a,b] na n stejně velkých dílků.
_____________________

Zkonstruuji množinu P_m takto:
$P_m:=\left\{\frac{2i-1}{2^s};\, 1\le i\le 2^s,\, 1\le s\le m\right \}\cup\{ 0,1\}\subset [0,1].$
Označím-li v dalším R(x) hodnotu Riemannovy funkce v bodě x, máme odtud snadno
$R\left (\frac{2i-1}{2^s}\right )=\frac{1}{2^s},\qquad\forall i\in\mathbb{N},\, i\le 2^s.$

Nyní zkonstruujeme posloupnost součtů $\{S_m\}_{m=1}^{\infty}$ , kde
$S_m:=\frac{1-0}{|P_m|}\sum_{x\in P_m}R(x),\qquad m\in\mathbb{N}.$
Platí ale

Platí dále
$0<\frac{1}{2^m+1}\sum_{i=1}^{2^m+1}R(\xi _i)<\frac{1}{2^m+1}\nosmash\sum_{x\in P_m}\nosmash R(x)=\frac{1}{2^{m}+1}\left (2+\frac{m}{2}\right )\to 0 .$

Odsud plyne tvrzení snadno. Už jsem nevypisoval, odkud jsou $\xi _i$ .

Pavel · 31. 10. 2008 09:06

↑ Marian:

Něco takového mě včera napadlo, dělit intervaly na 2^m částí a zkoumat horní součet. Nabízí se otázka, do jaké míry je možné zvyšovat funkční hodnotu v racionálních číslech Riemannovy funkce tak, aby taková funkce byla stále R-integrovatelná, tzn. jaká je hranice mezi Riemannovou a Dirichletovou funkcí, kde integrovatelnost v Riemanově smyslu přestává platit.

Olin · 31. 10. 2008 12:18

Nevím, nakolik je pravda to, co napíšu, tak mě prosím opravte:

Jestliže existuje Riemannův integrál, pak se jeho hodnota rovná Lebesgueově. Protože Lebesgueova míra množiny racionálních čísel je 0, je integrál z funkce, která nabývá nenulové hodnoty pouze v racionálních číslech, roven nule. Proto je roven nule i Riemannův integrál.

Jako důkaz bych to asi nebral, ale byl bych rád, kdyby mi tuto myšlenku někdo kvalifikovaný potvrdil/vyvrátil. Vycházím z toho, co jsem si kdysi přečetl v Rektorysovi a teď pracně lovím z hlavy.

Pavel · 31. 10. 2008 12:31

↑ Olin:

Je to tak, každá Riemanovsky integrovatelná funkce je integrovatelná i v Lesbegueově smyslu a hodnoty těchto integrálů se rovnají. Šlo mi však o důkaz, který teorii Lebesgueova integrálu nepoužívá.

V souvislosti s tímto mě napadá otázka: Najděte funkci, která je Newtonovsky integrovatelná, avšak není integrovatelná v Lesbegueově smyslu :-)

Pavel Brožek

↑ Marian:

Pro m=1 dostávám $P_1=\left\{0,\,\frac12,\,1,\,\frac32\}\not{\subset} [0,1].$ Myslím, že jsi měl na mysli $1\le i\le 2^{s-1}$ a podobně i dál (to by vysvětlilo objevení se dvojky ve výrazu $\sum_{s=1}^{m}\frac{\frac{2^s}{2}}{2^s}$ ).

Potom mi přijde zvláštní dělení na $2^m+1$ intervalů, představoval bych si spíš $2^m$ intervalů (dejme tomu, že jeden krajní je například pouze bod 1 a s drobnou úpravou by to prošlo)

Pak mi není jasná nerovnost

$\frac{1}{2^m+1}\sum_{i=1}^{2^m+1}R(\xi _i)<\frac{1}{2^m+1}\nosmash\sum_{x\in P_m}\nosmash R(x)$ ,

která např. pro m=2 a vhodná $\xi_i\in\[\frac{i-1}{4},\frac{i}{4}\),\,i\in\{1,2,3,4\}$ a $\xi_5=1$ dává

$\frac15$1+\frac13+\frac12+\frac14+1$<\frac15$1+\frac14+\frac12+\frac14+1$$ (tj. $\frac{37}{60}<\frac{36}{60}$ )

Budu rád, když mi tvůj důkaz více ozřejmíš, je možné, že všechny mé nejasnosti plynou z neuvědomění si nějaké triviality :-)

↑ Pavel:

Můj tip je: Taková funkce je Riemannovsky integrovatelná přes libovolný interval [a, b] a její integrál je roven nule právě když pro každou posloupnost racionálních čísel $r_n,\,n\in\mathbb{N}$ z [a,b] je $\limsup_{n\to\infty}\,f(r_n)=0$ .

Jinými slovy nesmíme mít nekonečně mnoho bodů, v kterých je funkce větší než libovolná pevná hodnota.

Pokusím se to dokázat, tím bych i dokázal původní zadání. (Konečnost množiny bodů přesahujících nějakou hodnotu je pro Riemannovu funkci zřejmá.)

Pavel Brožek

Trochu jsem tvrzení upravil a vynechal jednu implikaci.

Tvrzení: Nech? f je funkce definovaná na intervalu [a, b] a nulová v iracionálních bodech. Jestliže existuje posloupnost všech racionálních čísel $r_n,\,n\in\mathbb{N}$ z [a,b], pro kterou je $\lim_{n\to\infty}\,f(r_n)=0$ , pak funkce f je Riemannovsky integrovatelná přes interval [a, b] a její integrál je roven nule.

Dk.: Pro každé $\varepsilon>0$ existuje $n_0\in\mathbb{N}$ takové, že pro všechna $n>n_0$ je $|f(r_n)|<\varepsilon$ . Označme body $t_0,\ldots,t_n$ , pro které platí $a=t_0<t_1<\ldots<t_n=b$ , dělením D intervalu [a, b]. Potom pro horní Riemannův integrál platí

$(\textrm{HR})\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=\inf_{D}\{\sum_{i=1}^{n}\,\sup_{x\in[t_{i-1},t_i)}\,[f(x)(t_i-t_{i-1})]\}\leq\sum_{i=1}^{n}\,\sup_{x\in[a+\frac{i-1}{n}(b-a),a+\frac{i}{n}(b-a))}\,[f(x)\cdot\frac{b-a}{n}]\leq\frac{b-a}{n}\cdot$n_0\cdot\max_{i\in\{1,\ldots,n_0\}}\{|f(r_i)|\}+(n-n_0)\varepsilon$$

To platí pro všechna n, musí tedy platit

$(\textrm{HR})\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x\leq\(b-a)\varepsilon$

To platí pro každé $\varepsilon$ , proto horní Riemannův integrál musí být roven nule. Analogicky se to dá ukázat pro dolní Riemannův integrál. Z toho

$\int_a^bf(x)\,\textrm{d}x=0$ $\perp.$

Obrácená věta neplatí:
Riemannův integrál funkce přes interval [0,1] je roven nule, ale neexistuje posloupnost všech racionálních čísel z intervalu [0, 1] takových, že její limita je rovna nule. (Sporem: Předpokládejme, že taková posloupnost $a_n$ existuje. Volme $\varepsilon=\frac12$ , pak existuje $n_0$ , že $\forall n>n_0$ je $f(a_n)<\frac{1}{2} \Rightarrow f(a_n)=0$ a tedy množina bodů v kterých je funkce nenulová je konečná - to je spor s definicí funkce.)

Je snadné uspořádat racionální čísla z libovoného intervalu do posloupnosti tak, aby limita Riemannovy funkce této posloupnosti byla rovna nule. Zadání je tedy vyřešeno i touto cestou.

Marian · 31. 10. 2008 23:24

↑ BrozekP:
Všechno až na tu nerovnost se mi podařilo odstranit (tedy na papíře zatím), ale tu nerovnost nejsem schopen nijak opodstatnit. Navíc, není de facto co opodstatňovat, protože jsi snadno zkonstruoval protipříklad, a není jediný (což je zřejmé). Upřímně řečeno, nebyla mi nerovnost v knize prof. Ženíška z Brna jasná. Nicméně čas jsem zatím na nápravu neměl, protože mi v noci stačily kuny prokousat elektřinu v autě.

Takže důkaz výše není platný.

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2008 15:38

Integrál z Riemannovy funkce

#2 30. 10. 2008 16:32

Re: Integrál z Riemannovy funkce

#3 30. 10. 2008 16:40

Re: Integrál z Riemannovy funkce

#4 30. 10. 2008 17:39 — Editoval Marian (30. 10. 2008 17:48)

Re: Integrál z Riemannovy funkce

#5 31. 10. 2008 09:06

Re: Integrál z Riemannovy funkce

#6 31. 10. 2008 12:18

Re: Integrál z Riemannovy funkce

#7 31. 10. 2008 12:31

Re: Integrál z Riemannovy funkce

#8 31. 10. 2008 20:02 — Editoval BrozekP (31. 10. 2008 20:13)

Re: Integrál z Riemannovy funkce

#9 31. 10. 2008 22:01 — Editoval BrozekP (31. 10. 2008 22:05)

Re: Integrál z Riemannovy funkce

#10 31. 10. 2008 23:24

Re: Integrál z Riemannovy funkce

Zápatí