Matematické Fórum

Ahoj, zkusil jsem přepsat sčítanec pomocí nekonečné geometrické řady a přehodit pořadí sumace (neřeším zatím korektnost tohoto postupu), tj. máme . Po záměně pořadí sumace je vnitřní suma pro lichá j rovna -1, tj. stačí hledat . Suma tohoto tvaru (resp. sumy - v závislosti na i) vypadá již standardizovaněji, ovšem nejsem si jist, zda je jednodušší než suma původní a zda znalost jejího vyjádření v uzavřeném tvaru pomůže k vyřešení našeho problému.

Je zajímavé, že Mathematica původní sumu nedokáže spočítat, ale sumu v mém příspěvku ano a poměrně rychle. Ale netuším, jaké metody na počítání sum Mathematica používá.

↑ Pavel Brožek:
Ahoj, bohužel nemám Mathematicu - mohl bys prosím jen tak pro zajímavost zkusit, zda si poradí s:

a pokud ne tak aspoň s těmito sumami pro malá i? Někde jsem viděl explicitní vzorec pro i=2 (tj. cos. v druhým mocninách), ale zda to lze vyjádřit obecně netuším.

Ještě k Mathematice: existuje způsob, aby Mathematica vypsala, jakým způsobem k danému řešení došla? Dle mého by to bylo velmi přínosné a algoritmicky nijak těžké (pokud k danému řešení dospěla)... Na druhou stranu by tímto asi pomohla autorům konkurenčních "počítacích software" a odhalila tak své metody...

Děkuji

↑ Bati:
Děkuji - s konkrétní hodnotou 2i si zdá se poradí, ale s obecnou 2i asi ne... Ale podle tvaru výsledku tudy asi cesta buď nepovede nebo bude trnitá.

Já jsem neměl na mysli to, jakým způsobem Mathematica hledá výsledek, ale to, když už ho najde, jaká pravidla byla k dosažení výsledku použita. Např. není důležité, že bylo prohledáno 1356 pravidel, ale důležité je, že bylo např. použito pravidlo o derivaci/intergraci funkce s parametrem, apod. A to by dle mého bylo pro člověka čitelné.

Neříkám, že program Mathematica je celý nahraditelný WolframAlpha, ale velmi pravděpodobně mají stejné jádro. Jde jen o to, že vstup a výstup jsou v jiných tvarech - WolframAlpha je upřímně akorát dělaný blbuvzdorně.

↑ check_drummer:
To je, s prominutím, naivní představa. K čemu nám bude znát algoritmus řešení nějakého problému (obecně platný, třeba s tak velkou pravděpodobností, že jeho výsledek můžem považovat za správný), když k tomu potřeboval 8000 operací?

↑ Bati:
Kde je ovšem řečeno, že se k výsledku stroj dobral v 8000 krocích? Třeba mu stačily jen kroky 4. Bylo by tedy vhodné, kdyby např. umožnil vypsat počet kroků vedoucí k řešení a v případě zájmu tyto kroky vypsat. Musíme si uvědomit, že to je jen stroj a že tedy jeho závěry mohou být chybné (chyby v programu) - proto by vypsaný postp mohl být "verifikován" člověkem a uznán jako platný.

↑ check_drummer:

Pro i=2 mi Mathematica dává (po přepsání csc na 1/sin a drobných úpravách, aby to vypadalo přehledněji)



V čítatelích využiju periodicitu a lichost sinu.



Pokud jsou siny ve jmenovatelích nenulové, můžeme pokrátit. Ty jsou nenulové pro n>2 (tj. ta podmínka n>i, kterou jsem zmiňoval).



Co jsem se tak díval na výrazy pro různá i, vypadá to, že vždy vyjde podobný tvar, tj. nějaká konstanta krát závorka, v které je konstantní člen, člen úměrný n a pak se přičítají poměry sin/sin, které ale pro dostatečně velké n dají konstantu (pro malé n způsobí, že je výraz nedefinovaný). Všechny konstanty se pak nakonec vždy sečtou na nulu.

Myslím si tedy, že to je skutečně lineární závislost, ale až od toho n>i.

Edit: Je zajímavé, že WolframAlpha dává špatný výsledek pro i=2, n=1 a n=2. Hádám, že si spočítá ten složitý výraz, ten pak zjednodušší na 3n/8 a dosadí n=1 nebo n=2. Přitom si neuvědomí, že ten výraz pro neplatí (, ).

↑ Bati:
Sice jen spekuluju, ale ono několika sekundové "počítání" může ve skutečnosti znamenat, že ve své velké databázi postupů hledá vhodný postup vedoucí k cíli. Tento postup však potom může zabrat několik relativně málo kroků a může být i pro člověka čitelný. Ale jak říkám - jen se domnívám.