Matematické Fórum

lukash188 · 30. 10. 2008 20:55

Vedel by niekto plsss, ako by sa dalo vypocitat taketo nieco:

Kolko existuje tykych realnych b, že rovnica $x^2+bx+6b=0$ ma iba celociselne korene.

Dik moc...

Chrpa · 30. 10. 2008 21:29

↑ lukash188:
Jedním takovým číslem je číslo 24 (pak vyjde dvojnásobný kořen x = -b/2 = -12)

Olin · 30. 10. 2008 21:35 — Editoval Olin (30. 10. 2008 21:38)

Dalším takovým je 0, pak vyjde dvojnásobný kořen 0 :-)

Jen poznamenám, že naše pátrání lze omezit na celá b, nebo? podle Vietových vzorců je $b = -(x_1 + x_2)$ a taky $6b = x_1 x_2$ a chceme, aby byly kořeny celé.

Vyjde nám, že diskriminant je $b^2 - 24b$ . Chceme, aby tato hodnota byla kvadrát (druhá mocnina celého čísla). Z toho bych vycházel já (první pokus), uvidím, jestli se k něčemu dopracuji.

Chrpa · 30. 10. 2008 22:11 — Editoval Chrpa (30. 10. 2008 22:23)

↑ lukash188:
Dalšími čísly jsou čísla: b in(-1,-3,-8,-25)
Pracuji na nějakém zobecnění.

Kondr · 31. 10. 2008 00:06

Vyjdu z toho, co psal Olin
$b^2 - 24b=a^2$
$b^2 - 24b+144=a^2+144$
$(b-12)^2 -a^2=144$
$(b-12-a)(b-12+a)=144$
Menší (v absolutní hodnotě) závorka může mít absolutní hodnotu |p|=1,2,3,4,6,8,9,12, b pak dopočteme jako (p+144/p)/2+12.
Jediné celočíselné hodnoty b nastávají pro |p|=2,4,6,8,12.

Cheop · 31. 10. 2008 08:55

↑ Kondr:
Mimo to co jsi napsal to platí i pro toto:
|p|=13 a pak b dopočteme jako (p+169/p)/2-12.

Kondr · 31. 10. 2008 09:58

Protoze |p| deli 144, |p|=13 neni mozne. Shodneme se ale na tom, ze reseni jsou b=-25,49,-8,32,-3,27,-1,25,0,24.

Cheop · 31. 10. 2008 10:21 — Editoval Cheop (31. 10. 2008 10:29)

↑ Kondr:
Z rovnice $x^2+bx+6b=0$
Pro b = (27,32,49) nevyjdou celočíselná řešení.

Řešením tak zůstává b=(-25,-8,-3,-1,0,24,25)

EDIT: Beru zpět, Kondr Tvoje řešení je správné. (jsem to ale trubec)

Matematické Fórum

#1 30. 10. 2008 20:55

Priklad

#2 30. 10. 2008 21:29

Re: Priklad

#3 30. 10. 2008 21:35 — Editoval Olin (30. 10. 2008 21:38)

Re: Priklad

#4 30. 10. 2008 22:11 — Editoval Chrpa (30. 10. 2008 22:23)

Re: Priklad

#5 31. 10. 2008 00:06

Re: Priklad

#6 31. 10. 2008 08:55

Re: Priklad

#7 31. 10. 2008 09:58

Re: Priklad

#8 31. 10. 2008 10:21 — Editoval Cheop (31. 10. 2008 10:29)

Re: Priklad

Zápatí