Matematické Fórum

Petr888 · 08. 05. 2012 15:42

Potřeboval bych si utřídit pojmy :)

limita typu a/0, kde a je různo od 0 je nedefinovaný výraz, ale např. v tomhle videu použijou, že a/0 je nekonečno.
Odkaz

V příkladu $\lim_{x\to\infty } x^{2}*sin\frac{1}{x}$ my vyšlo 1/0 a výsledek má být ∞, takže by to taky odpovídalo.

Vím, že existuje "kladná a záporná nula" a vim jak se řeší jednostranné limity a že když vyjde každá limita jinak, pak celková limita neexistuje. A nejde mi do hlavy, jaktože v těhlech případech to lze takhle udělat.

2) Liší se používání tohoto výrazu u limit posloupností a limit funkcí?

Děkuju za srozumitelný vysvětlení :)

user · 08. 05. 2012 16:02

Korektní je použít L'Hospitalovo pravidlo nebo "vykrátit" jak je na videu nebo použít známé limity (Např. sin(x)/x) nebo použít větu o součinu omezené posloupnosti (funkce) a nuly, případně nějaké další nástroje. O výsledku výrazů $\pm \infty \mp \infty$ , $\frac{0}{0}$ , $\pm \frac{\infty }{\infty }$ nelze rozhodnout nikdy (tudíž je potřeba provést nějaké povolené úpravy ještě před provedením limity.

Petr888 · 11. 05. 2012 13:37

Nejlíp to pochopim na příkladu...

$\lim_{x\to1}\frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{0}$

Pomocí jednostraných limit zjistím, že celková limita neexistuje

$\lim_{x\to1-} \frac{x+3}{x-1} = -\infty$
$\lim_{x\to1+} \frac{x+3}{x-1} = \infty$

Druhý příklad

$\lim_{x\to\infty }x^{2} \cdot sin\frac{1}{x} = "\infty \cdot 0"$

Upravím na takový tvar, abych mohl použít L'Hospitalovo pravidlo

$\lim_{x\to\infty } \frac{sin\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}} ="\frac{0}{0}" = \lim_{x\to\infty } \frac{-x^{-2}*cos\frac{1}{x}}{-2x^{-3}}$

Zkrátím a zjsitím výsledek

$lim_{x\to\infty } \frac{cos\frac{1}{x}}{2x^{-1}} = \frac{1}{0} = \infty$

Mě nejde do hlavy to, že v prvním případě musím použít jednostranné limity, abych to zjistil, ale v tomhle druhém případě jsem to mohl určit rovnou. Nevim, jestli se to teda může, ale minimálně 5 příkladů mi takhle vyšlo a kdybych to nemohl tak jsem nevěděl co s nima.

Bati · 11. 05. 2012 13:51

↑ Petr888:
Ahoj,
nevím, jestli je to přesně na co se ptáš, ale zdá se mi, že si pleteš toto : $\lim_{x\rightarrow0}\frac1x$ není to samé jako $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{\frac1x}$ .

jarrro · 11. 05. 2012 13:56

podľa mňa priamočiarejší postup je $\lim_{x\to\infty}x^2\sin{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to\infty}x\cdot x\sin{\frac{1}{x}}=\infty\cdot 1=\infty$

Petr888 · 11. 05. 2012 15:33

Bati napsal(a):
↑ Petr888:
Ahoj,
nevím, jestli je to přesně na co se ptáš, ale zdá se mi, že si pleteš toto : $\lim_{x\rightarrow0}\frac1x$ není to samé jako $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac1{\frac1x}$ .

Ano to je přesně ono! Já si celou dobu myslel, že je to to samý, proto mi to přišlo divný.

>jarrro
Máš pravdu! V učebnici to bylo u L'Hospitalova pravidla tak jsem to nesmyslně tlačil na něj. Díky za rady.

Matematické Fórum

#1 08. 05. 2012 15:42

Limita typu a/0

#2 08. 05. 2012 16:02

Re: Limita typu a/0

#3 11. 05. 2012 13:37

Re: Limita typu a/0

#4 11. 05. 2012 13:51

Re: Limita typu a/0

#5 11. 05. 2012 13:56

Re: Limita typu a/0

#6 11. 05. 2012 15:33

Re: Limita typu a/0

Bati napsal(a):

Zápatí