Matematické Fórum

Natálie · 02. 05. 2012 16:30

Chtěla bych poprosit o výpočet tohoto integrálu. Děkuji
$\int_{}^{}\sqrt{(36cos^{4}x*sin^{2}x)+ (36sin^{4}x*cos^{2}x)} dx$

Takjo · 02. 05. 2012 17:12

↑ Natálie:
Dobrý den,
zkusme nejprve upravit integrovaný výraz:
$\sqrt{36\cdot cos^{4}x\cdot sin^{2}x+36\cdot sin^{4}x\cdot cos^{2}x}=6\sqrt{(1-sin^{2}x)^{2}\cdot sin^{2}x+sin^{4}x\cdot (1-sin^{2}x)}=$
$=6\sqrt{(1-2sin^{2}x+sin^{4}x)\cdot sin^{2}x+sin^{4}x-sin^{6}x}=$
$=6\sqrt{sin^{2}x-2sin^{4}x+sin^{6}x+sin^{4}x-sin^{6}x}=6\sqrt{sin^{2}x-sin^{4}x}=$
$=6\cdot sinx\cdot \sqrt{1-sin^{2}x}=6\cdot sinx\cdot cosx$
Takže počítáme integrál : $6\cdot \int_{}^{}sinx\cdot cosx\cdot dx$ (nejlépe substitucí: $t=sinx$ )

Natálie · 02. 05. 2012 17:30

udělala jsem substituci $t=sinx$ , výsledek mi vyšel $6(\frac{sin^{2}x}{2})$ , mělo by to být dobře?

Takjo · 02. 05. 2012 17:35

↑ Natálie:
Dobrý den,
výsledek je téměř správně: $6(\frac{sin^{2}x}{2})=3sin^{2}x+C$

Natálie · 02. 05. 2012 18:08

Děkuji moc :)

Hanis · 02. 05. 2012 18:34

Jen mimochodem, není jednodušší:
$\sqrt{(36cos^{4}x*sin^{2}x)+ (36sin^{4}x*cos^{2}x)}=\sqrt{(\cos^2x\cdot\sin^2x)\cdot(36\cos^2x+36sin^2x)}=6\sin x\cdot\cos x$

Ta tvá úprava vypadá docela hrůzně...

Jenda358 · 02. 05. 2012 20:18

Úprava původní funkce na $6\sin x\cdot\cos x$ je chybná.
Je třeba mít neustále na paměti, že $\sqrt{x^{2}}=|x|$ .
Správná úprava je tedy $6|\sin x\cdot\cos x|=3|\sin 2x|$ .

Takjo · 02. 05. 2012 20:53

↑ Hanis:
Dobrý večer,
úprava hrůzná je, však mě taky stála spoustu sil... :)

Natálie · 11. 05. 2012 16:59

teď jsem z toho docela zmatená, mám vyřešit tento integrál avšak určitý, sice s tím problémy nemám, ale pořád to nemůžu vyřešit. Když vytknu a odmocním cosx a sinx dostanu tohle

a z toho budu mít zintegrované $[3|sin2x|]^{2\pi }_{0}$ ?

Takjo · 11. 05. 2012 17:28

↑ Natálie:
Dobrý den,
výraz pod odmocninou je roven 1, viz. základní goniometrické vzorce.
Potom tedy řešte pouze $[3|sin2x|]^{2\pi }_{0}$ ale nezapomeňte, že tato funkce v některých intervalech
nabývá i záporných hodnot (jinak by vám vyšla 0).

Natálie · 11. 05. 2012 17:39

a teď netuším v jakých když mám $[3|sin4\pi |-3|sin0|]$

Takjo · 11. 05. 2012 18:00

↑ Natálie:
Dobrý den,
nejprve musíte zintegrovat $3|\sin 2x|$ , což ještě nemáme... :)

Natálie · 11. 05. 2012 18:03

nevím přesně jak je to s tou absolutní hodnotou, ale mohlo by to být $-\frac{3}{2}cos2x$ ?

Takjo · 11. 05. 2012 19:40

↑ Natálie:
Dobrý večer,
pokusím se zrekapitulovat situaci, protože se začínám ztrácet... :)
Zadání: $\int_{0}^{2\pi }\sqrt{(36cos^{4}x*sin^{2}x)+ (36sin^{4}x*cos^{2}x)} dx$

To jsme upravili na: $6\cdot \int_{0}^{2\pi }sinx\cdot cosx\cdot dx$

A po integraci jsme dostali: $3sin^{2}x$

Pokud se podíváme na průběh funkce $6\cdot sinx\cdot cosx\cdot$ viz. obrázek,
je jasné, že nemůžeme integrovat od 0 do 2 pí, protože plochy by se navzájem odečetly a výsledek by byl 0.
Vzhledem k tomu, že všechny 4 dílčí plochy pod osou i nad osou x jsou stejné, budeme integrovat v intervalu $0$ až $\frac{\pi }{2}$ a výsledek vynásobíme čtyřmi.

Takže: $4\cdot 6\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}sinx\cdot cosx\cdot dx=4\cdot 3\cdot [sin^{2}x]_{0}^{\frac{\pi }{2}}=12\cdot (sin^{2}\frac{\pi }{2}-sin^{2} 0)=12$