Matematické Fórum

pizet · 11. 05. 2012 22:21

Ahoj.

Chcel by som spočítať

$\lim_{||(x,y)||\rightarrow\infty}\frac{x + y}{x^2- xy + y^2}$ .

Napadlo mi, že by sa hodilo napísať

$\frac{x + y}{x^2- xy + y^2}$

ako funkciu

$\sqrt{x^2 + y^2}$

ale v tom sa mi nedarí.

Má niekto nejaký nápad, že ako na to?

Ďakujem

Stýv · 11. 05. 2012 22:34

co si představuješ pod zápisem $\lim_{\|(x,y)\|\rightarrow\infty}$ ?

pizet · 11. 05. 2012 22:44

↑ Stýv:

Že vzdialenosť bodu $(x{,}y)$ od $(0{,}0)$ sa blíži do $\infty$ . Mám nesprávnu predstavu?

Pavel Brožek

↑ pizet:

Ahoj. Snažme se tedy výraz $\frac{x + y}{x^2- xy + y^2}$ odhadnout něčím, co půjde do nuly, když $x^2+y^2$ půjde do nekonečna.

$\left|\frac{x + y}{x^2- xy + y^2}\right|=\frac{|x + y|}{|x^2- xy + y^2|}$

V čitateli využijeme $|x+y|\le\sqrt2\sqrt{x^2+y^2}$ a ve jmenovateli $xy\le\frac12(x^2+y^2)$ (obě nerovnosti se snadno dokážou).

Edit: Jak jsem na ty nerovnosti přišel? Vím, co tam zhruba chci dostat, tak trochu zkouším a pak doladím konstanty. Rozhodně si podobné nerovnosti nepamatuji.

Edit2: Definici $\lim_{\|(x,y)\|\rightarrow\infty}$ chápu takto:

$\lim_{\|(x,y)\|\rightarrow\infty}f(x,y)=A\Leftrightarrow(\forall \varepsilon>0)(\exists K)(\|(x,y)\|>K\Rightarrow |f(x,y)-A|<\varepsilon)$

pizet · 11. 05. 2012 23:20

↑ Pavel Brožek:

Super! Ďakujem za pomoc.

Stýv · 12. 05. 2012 13:32

↑ pizet: já jenom, že běžně se definuje $\lim_{x\to a}f(x)$ , nikoli $\lim_{g(x)\to a}f(x)$ , tak mi přijde vhodné se nad tím na chvilku zamyslet. nic víc

Matematické Fórum

#1 11. 05. 2012 22:21

Limita funkcie dvoch premenných

#2 11. 05. 2012 22:34

Re: Limita funkcie dvoch premenných

#3 11. 05. 2012 22:44

Re: Limita funkcie dvoch premenných

#4 11. 05. 2012 22:58 — Editoval Pavel Brožek (11. 05. 2012 23:10)

Re: Limita funkcie dvoch premenných

#5 11. 05. 2012 23:20

Re: Limita funkcie dvoch premenných

#6 12. 05. 2012 13:32

Re: Limita funkcie dvoch premenných

Zápatí