Matematické Fórum

jendula11 · 31. 10. 2008 13:07

prosil bych jestli by někdo uměl vypočítat konvergenci tohoto integrálu

Richard Tuček · 31. 10. 2008 13:23

↑ jendula11:
Tuším, že by mohl mít konečnou hodnotu (tj. konvergovat), ale exaktně to neumím vypočítat.
Platí $\int_{0}^{\infty}\frac{sinx}{x}dx=\frac{\pi}{2}$
Dále: $\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x}}dx=[2\sqrt{x}]_0^1= 2$

musixx · 31. 10. 2008 13:32 — Editoval musixx (31. 10. 2008 13:35)

↑ Richard Tuček: Pokud to spravne chapu, jde jen o to urcit, zda zadany integral konverguje nebo ne. No a protoze na zadanem intervalu je vzdy $0\leq\cos(x)\leq1$ , tak s pouzitim tveho druheho prikladu mame $0\leq\int_0^1\frac{\cos x}{\sqrt{x}}{\rm d}x\leq\int_0^1\frac1{\sqrt{x}}{\rm d}x=2$ , tedy zadany integral konverguje.

jendula11 · 31. 10. 2008 13:56

děkuji moc za řešení ještě bych prosil jeden, opět mi jde jestli konverguje.

musixx · 31. 10. 2008 14:16 — Editoval musixx (31. 10. 2008 14:17)

↑ jendula11: Predpokladam, ze cely sinus ma byt v exponentu. Pak lze stejne odhadovat:
$\int_0^\infty\frac{{\rm e}^{\sin x}}{x^2+1}{\rm d}x\leq\int_0^\infty\frac{{\rm e}^1}{x^2+1}{\rm d}x={\rm e}\int_0^\infty\frac1{x^2+1}{\rm d}x\leq{\rm e}\int_0^\infty\frac1{x^2}{\rm d}x$ . Dal uz to urcite dotahnes sam, ze integral konverguje.

Marian · 31. 10. 2008 14:43

↑ musixx:
Ten poslední odhad ti je na nic, protože platí
$\int_{0}^{\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x=+\infty .$
Radši bych to nechal tak jak to máš v předchozím kroku a dostal tak po snadné integraci
$0<\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{e}^{\sin x}}{x^2+1}\,\mathrm{d}x<\mathrm{e}\int_{0}^{\infty}\frac{\mathrm{d}x}{x^2+1}=\frac{\mathrm{e}\pi}{2}<\infty ,$
odkud plyne jasně konvergence původního integrálu.

musixx · 31. 10. 2008 14:50

↑ Marian: Jasnacka, spravne bude pouzit atan() a tu +1 ve jmenovateli nechat. Nechal jsem se az prilis unest spojitosti s radami...

Matematické Fórum

#1 31. 10. 2008 13:07

konvergence nevlastních integrálu

#2 31. 10. 2008 13:23

Re: konvergence nevlastních integrálu

#3 31. 10. 2008 13:32 — Editoval musixx (31. 10. 2008 13:35)

Re: konvergence nevlastních integrálu

#4 31. 10. 2008 13:56

Re: konvergence nevlastních integrálu

#5 31. 10. 2008 14:16 — Editoval musixx (31. 10. 2008 14:17)

Re: konvergence nevlastních integrálu

#6 31. 10. 2008 14:43

Re: konvergence nevlastních integrálu

#7 31. 10. 2008 14:50

Re: konvergence nevlastních integrálu

Zápatí