Matematické Fórum

adjamot · 12. 05. 2012 16:03

Řeším zapeklitý problém. Vytvářím databázi otázek pro procvičování otázek z MATA-I, ale nejsem si jistý, zda mnou vytvořené otázky jsou jednoznačně, správně a matematicky korektně napsány.
Tyto otázky slouží k procvičování tématu Posloupnosti.
Správnou odpověď jsem vyznačil +, špatnou odpověď jsem vyznačil -.
Mohli byste je zkontrolovat, jestli jsou napsány srozumitelně, matematicky korektně a jestli jsem se nespletl s vyznačování správnosti?

Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé.(1-vlastní)
-Má-li posloupnost $(a_{n})$ limitu a je-li posloupnost $(b_{n})$ omezená, existuje $\lim (a_{n}b_{n})$ .
-Je-li $\lim a_{n}=0$ , je $\lim\frac{1}{a_{n}}=\infty$ .
-Je-li $\lim a_{n}=0$ , je $\lim\frac{1}{a_{n^2}}=\infty$ .
+Je-li $\lim a_{n}=0$ a současně posloupnost $(a_n)$ je rostoucí, je $\lim\frac{1}{a_n}=-\infty$ .

Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé. O~posloupnosti řekneme, že je zdola omezená, platí-li:(2-vlastní)
+ existuje takové $k \in \R$ , že pro všechna $i$ platí $a_{i} \geq k$ .
- existuje takové $l \in \R$ , že pro všechna $i$ platí $a_{i} \leq l$ .
- existuje takové $i \in \N$ , že pro něj platí $a_{1} \leq a_{i}$ .
- existuje takové $i \in \N$ , že pro něj platí $a_{n} \leq a_{n+1}$ .

Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé. Pro součet $n$ ~členů geometrické posloupnosti $s_{n}$ platí (3-vlastní)
+ $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\frac{a_{1}} {1-q}$ , pro $\|q\|<1$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\frac{a_{1}-q}{1-q}$ , pro $\|q\|<1$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\frac{a_{1}}{1-q}$ , pro $q\in\langle0,1)$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\frac{a_{1}-q}{1-q}$ , pro $q\in\langle0,1)$

Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé. Pro součet $n$ ~členů geometrické posloupnosti $s_{n}$ platí (4-vlastní)
+ $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\pm \infty$ , pro $q \geq 1$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=a$ , $a \in \R$ , pro $q \geq 1$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\pm \infty$ , pro $(-\infty, 1) \cup \langle 1, \infty)$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}$ neexistuje, pro $q \geq 1$

Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé. Pro součet $n$ ~členů geometrické posloupnosti $s_{n}$ platí (5-vlastní)
+ $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}$ neexistuje, pro $q \leq -1$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}$ neexistuje, pro $(-\infty, 1) \cup \langle 1, \infty)$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=a$ , $a \in \R$ , pro $q \leq -1$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\pm \infty$ , pro $q \leq -1$

Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé. Pro součet $n$ ~členů aritmetické posloupnosti $s_{n}$ platí (6-vlastní)
+ $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\pm \infty$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=\pm \infty$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=a$ , pro $a \in \R$
- $\lim\limits_{n\to \infty} s_{n}=0$ , pro $d=0$

Nechť $\lim a_{n}=a\in \R^{\star}$ a $\lim b_{n}=b\in \R^{\star}$ . Potom právě jedno z následujících tvrzení je pravdivé. (7-vlastní)
+ $\lim \root{k}\of a_{n}=\root{k}\of a$ , je-li $k \in \N \setminus{\{1\}}$ , $a\in \R$ a $a_{n}\geq0$ pro každé $n \in \N$
- $\lim \root{k}\of a_{n}=\root{k}\of a$ , je-li $k \in \N \setminus{\{1\}}$ , $a\in \R$
- $\lim (a_{n}\pm b_{n})=a\pm b$
- $\lim (a_{n} b_{n})=ab$

Rozhodněte, které z následujících tvrzení je pravdivé. (8-vlastní)
+Posloupnost je definována jako zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny reálných čísel.
-Posloupnost je definována jako zobrazení z množiny přirozených čísel do množiny přirozených čísel.
-Posloupnost je definována jako zobrazení z množiny reálných čísel do množiny přirozených čísel.
-Posloupnost je definována jako zobrazení z množiny celých čísel přirozených čísel do množiny přirozených čísel.

jelena · 12. 05. 2012 17:26

↑ adjamot:

Zdravím,

jsou to jen technické poznámky:

a) téma je dost nečitelné a nepřehledné,

b) máš nepořádek v zápisu, např. chybí R v k\in\R a další, $\|q\|<1$ určitě má být $|q|<1$ . Zbytečný zdroj debat :-)

c) bylo by dobré mít referenční materiál - kterou teoretickou základnu (knihu, online oporu) považuješ za bázovou?

d) nejsou otázky v některé aplikaci, kde by to bylo pohodlnější na prohlížení? Nemyslím stahování souboru, ale v čem to nakonec bude fungovat?

e) abych pravdu řekla, ani nevím, co s tématy - pokud by se někdo ujmul připomínkování, tak by bylo dobré mít všechno před sebou a nepřeskakovat přes odpovědí dalších kolegů. Proto:

Pokud někdo z kolegů má zájem připomínkovat - můžete navrhnout pro vás pohodlnou formu? Děkuji.

adjamot · 12. 05. 2012 17:35

↑ jelena:
Děkuji za zájem, vygenerované PDF jsem uložil na svůj veřejný dropbox, tedy na této adrese je PDF soubor dostupný.

jelena · 12. 05. 2012 17:50

↑ adjamot:

Děkuji, potom ještě, prosím, přidej takové odkazy výrazně na úvod svých témat.

Ještě pošlu PM, sleduj levý horní roh fóra :-)

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2012 16:03

Otázky o posloupnostech

#2 12. 05. 2012 17:26

Re: Otázky o posloupnostech

#3 12. 05. 2012 17:35

Re: Otázky o posloupnostech

#4 12. 05. 2012 17:50

Re: Otázky o posloupnostech

Zápatí