Matematické Fórum

claires · 12. 05. 2012 22:26

Moc prosím o radu, jak vypočítat tento příklad?
Do rovnostranného kužele je vepsána koule, nad ní druhá, třetí... Kužel má stranu a. Určete součet povrchů a součet objemů všech koulí.
Napadlo mě, že výška kužele se rovná součtu všech průměrů koulí, tak jsem si to dosadila do vzorečků (asi špatně), ale výsledek se neshoduje s výsledkem uvedeným na internetu.

zdenek1 · 13. 05. 2012 08:55

↑ claires:

Poloměr vepsané koule je roven $\frac13$ výšky kužele.
Poloměry tvoří geometrickou posloupnost s kvocientem
$q=\frac{r_2}{r_1}=\frac13$
pro $r_1$ platí
$\frac{r_1}{\frac a2}=\tan\,30^\circ\ \Rightarrow\ r_1=\frac a{2\sqrt3}$
pro objem všech koulí
$V=\frac43\pi(r_1^3+r_2^3+\cdots)=\frac43\pi r_1^3\left(1+\frac1{27}+\cdots\right)=\frac43\pi\left(\frac a{2\sqrt3}\right)^3\cdot\frac1{1-\frac1{27}}=\dots$
povrchy stejně
$S=4\pi(r_1^2+r_2^2+\cdots)=\dots$

claires · 13. 05. 2012 09:20

↑ zdenek1: děkuji mockrát, právě jsem nevěděla, jestli poloměry jsou v nějakém poměru.. A tak jsem si poměrně složitě vypočítala r_1=\frac{a\sqrt{3}}{6} a r_2=\frac{a\sqrt{3}}{9} ->q=\frac{2}{3} tak to asi také není správně, co? Jinak vztah mezi výškou a poměrem si můžu nějak odvodit? nějak to tam nevidím...

claires · 13. 05. 2012 09:22

$r_1=\frac{a\sqrt{3}}{6}$ a $r_2=\frac{a\sqrt{3}}{9}$ -> $q=\frac{2}{3}$

zdenek1 · 13. 05. 2012 10:00

↑ claires:

Jinak vztah mezi výškou a poměrem si můžu nějak odvodit? nějak to tam nevidím

To záleží na tom, co je pro tebe odvodit.

V rovnostranném trojúhelníku je výška totožná s těžnicí. Takže střed vepsané kružnice je současně průsečík výšek i těžnic. Jenže průsečík těžnic = těžiště. A těžiště dělí těžnice v poměru 1:2

claires · 13. 05. 2012 11:17

už je mi to jasný, díky!

Matematické Fórum

#1 12. 05. 2012 22:26

Nekonečná řada - v kuželi koule

#2 13. 05. 2012 08:55

Re: Nekonečná řada - v kuželi koule

#3 13. 05. 2012 09:20

Re: Nekonečná řada - v kuželi koule

#4 13. 05. 2012 09:22

Re: Nekonečná řada - v kuželi koule

#5 13. 05. 2012 10:00

Re: Nekonečná řada - v kuželi koule

#6 13. 05. 2012 11:17

Re: Nekonečná řada - v kuželi koule

Zápatí