Matematické Fórum

Sim23 · 13. 05. 2012 14:55

Zdravím,

vedel by mi niekto prosím poradiť s týmto? Neviem čoho sa mám chytiť respektíve ako zostaviť tieto informácie, aby sa z nich dalo niečo vypočítať.

V GP je jej 4. člen o 15 väčší ako jej 1. člen a jej 3. člen je o 10 menší ako 2. člen. Vypočítajte súčet prvých 10 členov tejto postupnosti. Na aké číslo musíme zmeniť číslo 15, aby riešením bola len jedna postupnosť?
Pomôcka: $a^{3}-1=(a-1)*(a^{2}+a+1)$

gogy27 · 13. 05. 2012 15:38 — Editoval gogy27 (13. 05. 2012 15:39)

$a_{4} = a_{1} + 15$ // 4. člen o 15 väčší ako 1. člen
$a_{3} = a_{2} -10$ // 3. čeln o 10 menší ako 2. člen
$a_{2} = a_{1}\cdot q$ // druhý člen sa prevedie na prvý člen takto

$a_{4} = a_{1}\cdot q^{4-1}$ // 4. člen prevedieme na prvý člen takto
$a_{1} + 15 = a_{1}\cdot q^{3}$ // dosadíme si z prvej trojice vzorcov

$a_{3} = a_{2}\cdot q$ // 3. člen prevedieme na2. člen takto
$a_{2} - 10 = a_{2}\cdot q$ // dosadíme si z prvej trojice vzorcov

Odtiaľ rovnica o dvoch neznámych:
$a_{1}\cdot q - 10 = a_{1}\cdot q^{2}$
$a_{1} + 15 = a_{1}\cdot q^{3}$

Sim23 · 13. 05. 2012 15:50

↑ gogy27:
Ďakujem za pomoc...

Katsushiro · 13. 05. 2012 16:11

Kdes tohle vzal, prosimtě? :D

Já bych to počítal takhle:

$s_{10}=a_{1}*\frac{q^{10}-1}{q-1}$

Chybí mi a_1 a q, takže potřebuju 2 rovnice o 2 neznámých:

$a_{4}=a_{1}+15=a_{1}*q^{3}$
$a_{3}=a_{2}-10=a_{1}*q-10$

Za následný výpočet neručím, dělal jsem to ve spěchu :-D

Z 1. rovnice: $a_{1}=\frac{15}{q^{3}-1}$
Z 2. rovnice: $a_{1}=\frac{-10}{q(q-1)}$

Po úpravě této soustavy dostávám rovnici $2q^{2}+5q+2=0$ , která vychází $q_{1}=-\frac{1}{2}, q_{2}= -2$

$a_{1}(1)=-\frac{40}{3}, a_{1}(2)=- \frac{5}{3}$

Součet tedy vychází $s_{10}(1)=-\frac{1705}{192}, s_{10}(2)=-\frac{1705}{1536}$

Sim23 · 15. 05. 2012 10:46

↑ Katsushiro:
Vďaka... vyšlo mi to tak ako tebe, až na s10(2), ktorý mi vyšiel 1705/3, ale to je len detail v porovnaní s tým ako si mi pomohol. A ešte by som sa chcel opýtať ako si upravil tie rovnice na zlomky (a1=...), lebo ma nenapadá akú úpravu si použil.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2012 14:55

Geometrická postupnosť

#2 13. 05. 2012 15:38 — Editoval gogy27 (13. 05. 2012 15:39)

Re: Geometrická postupnosť

#3 13. 05. 2012 15:50

Re: Geometrická postupnosť

#4 13. 05. 2012 16:11

Re: Geometrická postupnosť

#5 15. 05. 2012 10:46

Re: Geometrická postupnosť

Zápatí