Matematické Fórum

ajeto · 13. 05. 2012 15:38

dobrý deň prajem,

mám zadanie
riešte začiatočnú úlohu pre homogénnu Eulerovu diferenciálnu rovnicu
$(x+2)^2y''+3(x+2)y'-3y=0$
$y(-1)=1\,,\,y(0)=2$

úlohy tohto typu sme zatiaľ riešili substitúciou $x=e^t$
problém mi robí zač.podmienka, tá hovorí že budem hľadať riešenie na intervale $(-1,0)$
ale vtedy je $x<0$ a nemôžem teda robiť substitúciu za $e^t$

vďaka za akúkoľvek radu

Phate · 13. 05. 2012 16:03

delas substituci $t=\ln(x+2)$ , aby ses zbavil rovnou x+2 a ne jen x, substituce je vzdy prirozeny logaritmus z toho celeho vyrazu pred y

ajeto · 13. 05. 2012 17:16

aha, ďakujem ↑ Phate:

môj postup, ak budete ochotný upozorniť na prípadné chyby, alebo zle odôvodnené kroky
$x+2=e^t\,\,\,,\,\,\,x \in [-1,0]$

$y'_{x}=y'_t t'_x=y'_t \frac{1}{x'_t}=y'_t\frac{1}{\mathrm{e}^t}=y'_t\mathrm{e}^{-t}$ (ak tomu rozumiem správne, využíva sa veta o derivácii zloženej funkcie a veta o derivácii inverznej funkcie??)

$y''_{xx}=(y'_t\mathrm{e}^{-t})'_t t'_x=y''_{tt}\mathrm{e}^{-t}t'_x-y'_t\mathrm{e}^{-t}t'_x=y''_{tt}e^{-t}\frac{1}{x'_t}-y'_t\mathrm{e}^{-t}\frac{1}{x'_t}=(y''_{tt}-y'_{t})\mathrm{e}^{-2t}$

kde $y(x)=y(t(x))$

po dosadení subsitúcie a vypočítaných derivácií do rovnice dostanem

$\mathrm{e}^{2t}(y''_{tt}-y'_t)\mathrm{e}^{-2t}+3\mathrm{e}^t y'_t \mathrm{e}^{-t}-3y=0$

po úprave

$y''+2y'-3y=0$

korene $ch(\lambda)$ sú $1$ a $-3$

a dostanem všeobecné riešenie

$y(t)=c_{1}\mathrm{e}^{-3t}+c_{2}\mathrm{e}^{t}$

čo dá po dosadení $t=\ln{(x+2)}$

$y(x)=c_{1}(x+2)^{-3}+c_{2}(x+2)$ $c_{1},c_{2}\in \mathbb{R}$

z počiatočných podmienok potom vyriešením systému

$c_{1}+c_{2}=1$
$\frac{c_{1}}{8}+2c_{2}=2$

som získal jednoznačné riešenie počiatočnej úlohy
$y(x)=(x+2)^{-3}+(x+2)$

riešenie pre $x+2>0$ teda $x>-2$ ?

Phate · 13. 05. 2012 17:40 — Editoval Phate (13. 05. 2012 17:41)

↑ ajeto:
vypada to dobre, az na to reseni pocatecni ulohy: $y(x)=(x+2)^{-3}+(x+2)$ podle me by melo vyjit, ze $c_1=0, c_2=1$ takze reseni poc. ulohy bude $y(x)=x+2$ . Pokud dosadis toto reseni do zadani je videt, ze toto reseni je spravne pro vsechna x a ne jen pro ta, pro ktera jsme delali tu substituci, takze neni potreba dodavat zadne $x>-2$ .
Jinak k

(ak tomu rozumiem správne, využíva sa veta o derivácii zloženej funkcie a veta o derivácii inverznej funkcie??)

ano, pouziva se veta o derivace slozene funkce, o te inverzni funkci si nemyslim, ze je to nutne. Pokud si puvodni funkci vyjadrime pro $t$ , tedy $x+2=e^t$ vyjadrime jako $t=\ln(x+2)$ , pak $t_x =\frac1{x+2}$ atd. nemusime resit zadnou inverzi.

ajeto · 13. 05. 2012 18:27

↑ Phate:

áno, máte pravdu, zle som vyriešil ten systém,vďaka

ak dovolíte, ešte ma napadajú doplňujúce otázky:

1.) v prípade, že by som mal podmienky dané pre túto rovnicu v bodoch $-5$ a $-3$
je možné postupovať substitúciou $x+2=-e^t$ ?

2.) čo ak by boli dané v bodoch $-3$ a $3$ ?
ak môžem postupovať tak ako píšem v 1.), dá sa vyrieśiť rovnicu
samostatne pre $(-\infty,-2)$ a $(-2,\infty)$ a snažiť sa riešenia nejak spojiť tak, aby
funkcia mala potrebný počet derivácií na celom $\mathbb{R}$ ? alebo je na to iný spôsob?

3.) riešil som týmto spôsobom teraz iné rovnice a stáva sa že v riešení dostanem zlomok tvaru
$\pm \frac{1}{(x+a)^m}\,,\,a \in \mathbb{R}$ a býva problém v bode $-a$
vtedy sa riešenie obmedzí na nekonečný interval $(-a,\infty)$ resp. $(-\infty,-a)$ ?

ďakujem

Phate · 13. 05. 2012 18:34

Tou substituci bychom meli dostat obecne reseni, takze i pokud nas substituce nejak limituje pro nektere hodnoty x, tak po vyreseni cele diferencialni rovnice vzdy dostaneme takove reseni, ktere plati obecne, nezavisle na x, tedy pro vsechny x se nam puvodni rovnice vynuluje po dosazeni naseho reseni.
Ohledne 3.) nejsem si uplne jisty, ale po dosazeni obecneho reseni do puvodni rovnice by se rovnice mela stale vynulovat. Jediny pripad, kdy bychom nektera x vynechali by bylo, pokud bychom pri postupu delili vyrazem s neurcitou hodnotou, v tom pripade by se pak dalo overit reseni pro dane x po dosazeni do puvodni rovncie a urceni jak bude vypadat y pro takova x. Zuste si schvalne dosadit vase reseni do puvodni rovnice.

ajeto · 13. 05. 2012 18:52

↑ Phate:

ten bod 3.) sa týka napr. rovnice (aby ste to mohli konkrétne vidieť)

$(1+x)^2y''+2(1+x)y'-2y=0$ s podmienkami $y(0)=0\,,\,y'(0)=-3$

riešenie mi vyšlo

$y(x)=\frac{1}{(1+x)^2}-(x+1)$ čo sa po dosadení do pôvodnej rovnice skutočne vynuluje

do $y(x)$ sa nedá dosadiť $-1$

po dosadení do pôvodnej rovnice $x=-1$ dostanem $-2y=0$

možno by sa mohlo teda dodefinovať $y(-1)=0$ ale nevidím spôsob ako z $y$ urobiť aspoň dva krát spojite diferencovateľnú funkciu na $\mathbb{R}$
kvôli tomu tá otázka či je riešením len $y(x)$ na $(-1,\infty)$ , prípadne na $(-\infty,-1)\cup(-1,\infty)$

tá funkcia síce je riešením rovnice,
ale základ ktorý nás učili je hľadať funkciu na čo najväčšom intervale,
ktorá je potrebne veľa krát spojite diferencovateľná na tomto intervale

Phate · 13. 05. 2012 19:59

Abych se priznal, tak nevim presne jak to je a nerad bych rikal neco co neni pravda, mozna to osvetli nekdo kdo se vic vyzna v teto problematice. Podle me reseni bude platit pro vsechna x i kdyz nektera nejsou soucasti def. oboru funkce y, ale puvodni diferencialni rovnice po dosazeni naseho reseni plati pro vsechna x a to je zasadni. Treba me nekdo opravi.

ajeto · 13. 05. 2012 20:44

↑ Phate:
hoci pôvodný problém je vyriešený, tému nechám ešte chvíľu otvorenú
v prípade že niekto osvetlí doplňujúcu otázku číslo 3
aj tak veľmi ďakujem za pomoc

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2012 15:38

eulerova diferenciálna rovnica

#2 13. 05. 2012 16:03

Re: eulerova diferenciálna rovnica

#3 13. 05. 2012 17:16

Re: eulerova diferenciálna rovnica

#4 13. 05. 2012 17:40 — Editoval Phate (13. 05. 2012 17:41)

Re: eulerova diferenciálna rovnica

#5 13. 05. 2012 18:27

Re: eulerova diferenciálna rovnica

#6 13. 05. 2012 18:34

Re: eulerova diferenciálna rovnica

#7 13. 05. 2012 18:52

Re: eulerova diferenciálna rovnica

#8 13. 05. 2012 19:59

Re: eulerova diferenciálna rovnica

#9 13. 05. 2012 20:44

Re: eulerova diferenciálna rovnica

Zápatí