Matematické Fórum

Fires · 13. 05. 2012 14:05

Zdravim mam problem s integrálem

$\int_{}^{}\frac{1}{(1+x^{2})^2}$

absolutne nevim jak se stim poprat. Pomoci ruznejch webovejch nastroju sem zjistil ze to je vlastne arctg x ale nevim jak dal kdyz je to nadruhou celej jmenovatel. Můžete mi nekdo nejak podrobne pomoc jak stim dale? Prosim

mikca101 · 13. 05. 2012 16:34

↑ Fires:

Máme absolutně totožnej problém! :D Já se k tomuto tvaru dostal, když jsem počítal úplně jinej příklad a totálně jsem se na tom seknul. Navíc mi tam vylezl i $\int_{}^{}\frac{1}{(1+x^{2})^3}$ Tak snad nám někdo poradí. ;)

Takjo · 13. 05. 2012 16:40

↑ Fires:
Dobrý den,
zkuste použít metodu rozkladu na parciální zlomky s tím že jmenovatel má dvojnásobné komplexně sdružené kořeny.

mikca101

↑ Takjo:

Ale tak, to mi tam přece pořád zůstane (mimo jiné také) $\int_{}^{}\frac{C}{(1+x^{2})^3}$

Phate · 13. 05. 2012 17:55 — Editoval Phate (13. 05. 2012 18:12)

↑ Fires:
substituce $x=tg t, dx=\frac1{\cos^2 t} dt$ dostavame:
$\int \frac1{(1+tg^2 t)^2}*\frac1{\cos^2 t} dt= \int $\frac1{\frac{\sin^2 t + \cos^2 t}{\cos^2 t}}$^2*\frac1{\cos^2 t} dt= \int \cos^2 t dt$ cos uz zintegrujeme v pohode

mikca101 · 13. 05. 2012 18:57

↑ Phate:

áha.. no a když pak počítám dál, tak mi vyleze:

$\int \cos^2 t dt = \int_{}^{}\frac{1+\cos (2t)}{2} dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sin (2t) =\frac{1}{2} \text{arctg}(x) + \frac{1}{4}\sin (\text{2arctg}(x)$

Ale s tímhle se ještě dá něco dělat, ne:

$\frac{1}{4}\sin (\text{2arctg}(x)$

user · 14. 05. 2012 00:01 — Editoval user (14. 05. 2012 00:27)

S tím posledním lze udělat, že si funkci sinus převedeš na tangens s pomocí vztahů:
$\text{tg}^{2}(x)=\frac{\sin ^{2}(x)}{\cos ^2{(x)}}$
$1=\sin ^{2}(x)+\cos ^2{(x)}$

EDIT: akorát tam je problém s tím, že máš v argumentu 2*arctg(x), asi rozložit podle sin(2x) a pak převést na tangens jak výsledný sin(x), tak cos(x), ale tenhle výsledek by byl klidně použitelný.

Univerzální je pomocí Per Partes odvodit obecný vzorec pro $\int_{}^{}\frac{1}{(1+x^{2})^{n}} \text{d}x$