Matematické Fórum

W.e.r.c · 15. 05. 2012 13:43

Ahoj, nvm si rady s tímhle příkladem...můžete mi někdo pomoct?

Rumburak · 15. 05. 2012 14:01

Ahoj.

Abs. extrémy spojité funkce na kompaktním trojúhelníku budou existovat, obecně se mohou nacházet buďto v bodech ležících uvnitř trojúhelníka
nebo v bodech na jeho hranici.

První případ řešíme metodou stacionárních bodů (PD rovny 0) , jiná možnost zde nepřipadá v úvahu, protože funkce f má PD všech řádů.

Druhý případ řešíme parametrickým vyjádřením jednotlivých stran trojúhelníka - úloha se tak převede na hledání extrémů funkce jedné proměnné.

W.e.r.c · 15. 05. 2012 14:43

↑ Rumburak: to první sem dala že se rovná nule a vyšel mi bod M(1,1) ale ted nvm jak udělat hranici když je to menší nebo větší? kdyby se to rovnalo nule tak vím, ale s těma rovnostma nvm

Rumburak · 15. 05. 2012 15:30

↑ W.e.r.c:

Ano, nalezený bod $M[1,1]$ leží uvnitř trojúhelníka a bude jedním z kandidátů na extrém.

Strany trojúhelníka leží na přímkách o rovnicích $x = 0$ , $y = 0$ a $3x + 2y - 6 = 0$ , vrcholy budou $A[2, 0]$ , $B[0, 3]$ , $C[0, 0]$ ,

Ukažme postup pro úsečku $AB$ . Lze ji popsat parametrickou rovnicí $X(t) = A + t (B-A)$ , kde $t \in \langle 0, 1\rangle$ .
Odtud určíme souřadnice $x(t), y(t)$ bodu $X(t)$ a dosadíme je za x, y do předpisu pro funkci f . Dostaneme funkci $F(t) :=f(x(t),y(t))$
a hledáme její extrémy pro $t \in \langle 0, 1\rangle$ . Kandidáty na extrém budou krajní body tohoto intervalu a ty jeho vnitřní body, kde $F'(t) = 0$ .
Obdobně pro ostatní strany.

Až budeme mít shromážděny všechny kandidáty na extrém, porovnáme v nich funkční hodnoty a tím nalezneme globální extrémy.

W.e.r.c · 15. 05. 2012 15:59

jak si prosímtě přišel na ty vrcholy? mě vychází jinak...

Rumburak · 15. 05. 2012 16:04

↑ W.e.r.c:
Jako průsečíky přímek o těch rovnicích $x = 0$ , $y = 0$ , $3x + 2y - 6 = 0$ , na nichž leží strany. Nemáš je jen jinak označené ?

W.e.r.c · 15. 05. 2012 16:04

už sem na ty vrcholy přišla ale nechápu ten zbytek co si psal...

Rumburak · 15. 05. 2012 16:12

↑ W.e.r.c:
Pro dnešek už tu musím končit, snad pomůže někdo další.
Pokud ne, tak si do zítřka příprav dotaz, čemu přesně nerozumíš :-) . Mně to jako celek připadá zřejmé a nevím, na co bych se měl
při dalším vysvětlování soustředit.

W.e.r.c · 15. 05. 2012 16:32

to je škoda..:D ale děkuju...:) nvm si rady právě s těma extrémama na hranici...vím, že se tam musí udělat derivace ale nvm právě čeho...

Rumburak

↑ W.e.r.c:

Tomu parametrickému vyjádření úsečky rozumíš ? Pokud ano (látka z AG střední školy), tak si uvědom, že bod $X[x, y]$ této úsečky je
jednoznačně určen hodnotou parametru $t$ , takže je $x = x(t)$ , $y = y(t)$ , kde funkce $x(t), y(t)$ dostaneme tak, že parametrickou
rovnici $X = A + t (B-A)$ rozepíšeme po souřadnicích. Hodnotou funkce $f$ v tomto bodě je tedy číslo $f(x,y) = f(x(t), y(t))$ ,
které je jednoznačně určeno hodnotou parametru $t$ , takže jde o jakousi funkci $g(t) := f(x(t), y(t))$ JEDNÉ PROMĚNNÉ $t \in \langle 0, 1\rangle$ ,
jejíž extrémy nás zajímají. Kandidáty na extrém budou jednak její hodnoty v krajních bodech intervalu $\langle 0, 1\rangle$ (odpovídající krajním bodům úsečky),
dále vnitřní body tohoto intervalu (odpovídající vnitřním bodům úsečky), v nichž $g'(t)$ (derivuje se podle proměnné $t$ ) obecně buďto je rovna 0
nebo neexistuje (tento druhý případ se u naší funkce $g$ ovšem neuplatní, protože funkce má derivaci v každém bodě).

Jak derivovat funkci $g(t)$ ? Vyjdeme z předpisu $g(t) := f(x(t), y(t))$ , kde máme na výběr:

1) Dosadíme za $x(t), y(t)$ příslušné algebraické výrazy (získané rozepsáním par. rovnice $X = A + t (B-A)$ po souřadnicích) a vzniklý
výraz upravíme do přehlednějšího tvaru (dostaneme kvadratický polynom v proměnné $t$ ) a zderivujeme obvyklým způsobem.

2) Použijeme větu o derivaci složené funkce více proměnných, která dává vzorec

$g'(t) := \frac{\partial f}{\partial x}(x(t), y(t)) \cdot x'(t) + \frac{\partial f}{\partial y}(x(t), y(t)) \cdot y'(t)$ .

POZNÁMKA. Tutéž přímku (úsečku) lze parametrisovat nekonečně mnoha způsoby - volil jsem ten, který je pro úsečku určenou svými krajními body
nejrychlejší a zároveň obecný (tj. nezávislý na její poloze). Ale když je přímka již určena nějakou rovnicí , například směrnicovou $y = kx + q$ ,
je rychlejší parametrisovat ji (případně její úsečku) rovnicemi $x = t , y = kt + q$ , analogicky u přímky o rovnici tvaru $x = ky + q$ .
Tyto dvě možnosti můžeš uplatnit u zbývajících stran trojúhelníka. :-)