Matematické Fórum

Majki · 15. 05. 2012 01:52

ahoj
když mi vyjdou postupné limity (tzn. $lim_{x\to a}(lim_{y\to b} vyraz)=lim_{y\to b}(lim_{x\to a} vyraz)=L$ )
znamená to že $lim_{ [x,y] \to [a,b]}vyraz=L$ nebo ne?
tedy vezměme si to na příkladu

$lim_{ [x,y] \to [0,0]} \frac{x^2+y^2}{x^4+y^4}$
když se udělají ty postupné limity zde jdou obě postupné do plus nekonečna, tedy jde i celé do plus nekonečna nebo třeba nějak dokazovat?
moc diky

Bati · 15. 05. 2012 09:07 — Editoval Bati (15. 05. 2012 09:07)

Ahoj,
ne, platí pouze, že když postupné limity jsou různá čísla, pak původní limita neexistuje. Postupné limitění je vlastně totiž to samé, jako přibližovat se limitnímu bodu po osách souřadnic. A to pro určení existence nestačí.
Ovšem převedením do polárních souřadnic se to snadno dořeší.

Rumburak

↑ Majki:
Ahoj.

Začnu příkladem funkce $f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ definované ve dvou větvích:

$f(x,x) := 1$ , $f(x,y) := 0 , \text{pokud} y \ne x$ .

Identicky platí $f(x,y) = f(y,x)$ a dále:

pro libovolné $x \in \mathbb{R}$ je $\lim_{y\to 0} f(x,y) = 0$ ,

obdobně

pro libovolné $y \in \mathbb{R}$ je $\lim_{x\to 0} f(x,y) = 0$ ,

odtud

$\lim_{y\to 0} \lim_{x\to 0} f(x,y) = \lim_{x\to 0} \lim_{y\to 0} f(x,y) = 0$ ,

avšak $\lim_{[x,y]\to [0,0]} f(x,y)$ neexistuje (protože v každém prstencovém okolí bodu [0, 0] funkce f nabývá jak hodnoty 0, tak hodnoty 1).

K úvahám o limitě $\lim_{ [x,y] \to [0,0]} \frac{x^2+y^2}{x^4+y^4}$ můžeme využít úpravu

(1) $\frac{x^2+y^2}{x^4+y^4} = \frac{x^2+y^2}{(x^2+y^2)^2 - 2x^2y^2}= \frac{1}{(x^2+y^2) - \frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}}$ ,

kde

$0 \le (x \pm y)^2 = x^2 + y^2 \pm 2xy$ ,
$\mp 2xy \le x^2 + y^2$ ,
$2|xy| \le x^2 + y^2$ ,
$\frac{2|xy|}{x^2 + y^2} \le 1$ ,
$\frac{2x^2y^2}{x^2 + y^2} \le |xy|$ ,

odtud postupně

$\lim_{[x,y]\to [0,0]} \frac{2x^2y^2}{x^2 + y^2}=0$ ,
$\lim_{[x,y]\to [0,0]} \left[(x^2+y^2) - \frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\right]=0$ ,

při čemž z (1) vyplývá, že výraz za posledním znakem limity je pro $[x,y]\ne [0,0]$ vždy kladný. Proto skutečně dle (1)

$\lim_{ [x,y] \to [0,0]} \frac{x^2+y^2}{x^4+y^4}= \lim_{ [x,y] \to [0,0]} \frac{1}{(x^2+y^2) - \frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}}= +\infty$ .

Majki · 15. 05. 2012 12:06 — Editoval Majki (15. 05. 2012 12:12)

↑ Rumburak: ↑ Bati:
aha takže je dobré přijít na nějaké vhodné odhady v abs. hodnotě
a když na nic nepřijdu tak..(

a dá se ještě nějak poznat zda je lepší polární souřadnice nebo substituce y=kx, y=kx^2

Rumburak

↑ Majki:

Obecně záleží na tvaru funkce, jakou substituci souřadnic eventuálně použít. Polární souřadnice zde asi mají nejčastější úplatnění tím,
že jsou celkem notoricky známy. Ale kreativitě řešitele se meze nekladou.

Substituce tvaru y=h(x) , kde h je zvolená funkce, mají úplatnění spíše v případech, kdy chceme ukázat, že dvojná limita neexistuje
(tím, že pro různé volby funkce h dostaneme podél různých křivek různé limity a pod.).

Majki · 15. 05. 2012 19:23

↑ Rumburak:
jo děkuju
a ještě otázečka existuje nějaký nástroj kde lze limity fcí více proměnných kontrolovat příp. odkazy
jak zadat

Rumburak · 16. 05. 2012 09:24

↑ Majki:
O nástrojích nic nevím. Kouzlo matemetiky vidím v tom objevit řešení vlastní úvahou . :-)

Matematické Fórum

#1 15. 05. 2012 01:52

limita dvou proměnných

#2 15. 05. 2012 09:07 — Editoval Bati (15. 05. 2012 09:07)

Re: limita dvou proměnných

#3 15. 05. 2012 10:02 — Editoval Rumburak (15. 05. 2012 14:19)

Re: limita dvou proměnných

#4 15. 05. 2012 12:06 — Editoval Majki (15. 05. 2012 12:12)

Re: limita dvou proměnných

#5 15. 05. 2012 12:30 — Editoval Rumburak (15. 05. 2012 14:28)

Re: limita dvou proměnných

#6 15. 05. 2012 19:23

Re: limita dvou proměnných

#7 16. 05. 2012 09:24

Re: limita dvou proměnných

Zápatí