Matematické Fórum

hnata · 16. 05. 2012 13:48

Zdravim,
můžete mi prosím poradit, co jde usoudit z otho, že pro polynom vychází:
$\lim_{x\to\infty }=-\infty$ a $\lim_{x\to-\infty }=\infty$ ?

Rumburak · 16. 05. 2012 14:04

Že jde o polynom lichého stupně se záporným koeficientem u vedoucího členu.

hnata · 16. 05. 2012 14:46 — Editoval hnata (16. 05. 2012 20:04)

jak se bude ta funkce chvoat v daném bodě?

Rumburak · 16. 05. 2012 15:06

↑ hnata:
Něco by se v tomto smyslu dalo říci. Např. když $f$ je polynom a platí $\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$ , potom existuje (konečné) číslo $K$
takové, že $f$ je na intervalu $(K, +\infty)$ klesající a konkávní. Předpoklad, že $f$ je polynom, je při tom důležitý - pro jiné funkce
tato implikace nemusí být správná.

hnata · 16. 05. 2012 19:49

lze říct pro $\lim_{x\to-\infty }=\infty$ totéž? existuje takové číslo $K$ , že funkce je na intervalu $(-\infty,K)$ klesající?

hnata · 16. 05. 2012 20:02

Vlastnost nevlastních limit:
roustou-li hodnoty přesvědčivě bez zřejmého omezení, stanovíme hypotézu, že limita je $\infty$
klesají-li hodnoty přesvědčivě bez zřejmého omezení, stanovíme hypotézu, že limita je $-\infty$

jde mi to, jak to správně interpretovat na daný interval, díky předem za každou radu :)

Rumburak · 17. 05. 2012 09:33

↑ hnata:

hnata napsal(a):
lze říct pro $\lim_{x\to-\infty }=\infty$ totéž? existuje takové číslo $K$ , že funkce je na intervalu $(-\infty,K)$ klesající?

Pokud přidáme předpoklad, že funkce je polynom, pak ano a vhodnou volbou $K$ můžeme docílit i toho, aby funkce byla na uvedeném intervalu navíc konvexní.
Pro obecnou funkci $f$ ale nic z toho platit nemusí - i když $\lim_{x\to-\infty }f(x) =\infty$ a funkce je spojitá, její graf by se mohl různě "vlnit" a pod.

Je-li $f(x)$ polynom, potom i $g(x) := f(-x)$ je polynom téhož stupně jako $f(x)$ . Tímto způsobem lze výsledky pro $x \to +\infty$ interpretovat pro $x \to -\infty$
Rovněž $h(x) := -f(x)$ je polynom téhož stupně jako $f(x)$ . Tímto způsobem lze výsledky pro $f(x) \to +\infty$ interpretovat pro $h(x) \to -\infty$ .

Rumburak · 17. 05. 2012 09:52

↑ hnata:

hnata napsal(a):
Vlastnost nevlastních limit:
roustou-li hodnoty přesvědčivě bez zřejmého omezení, stanovíme hypotézu, že limita je $\infty$
klesají-li hodnoty přesvědčivě bez zřejmého omezení, stanovíme hypotézu, že limita je $-\infty$

jde mi to, jak to správně interpretovat na daný interval, díky předem za každou radu :)

A co když tam to omezení je, ale jen není zejmé ? :-)

V matematice je nutno vycházet z přesných definic. I např. tvrzení $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ je přesně definováno - viz zde,
pokud umíš pracovat s kvantifikátory- můžeme je chápat jako zkratky pro ustálené slovní obraty:

$\forall K>0$ znamená "pro každé K kladné" , resp. "ke každému K kladnému" ,

$\exists D>0$ znamená "existuje D kladné takové, že"

a pod.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2012 13:48

Limita polynomu v nevlastnich bodech

#2 16. 05. 2012 14:04

Re: Limita polynomu v nevlastnich bodech

#3 16. 05. 2012 14:46 — Editoval hnata (16. 05. 2012 20:04)

Re: Limita polynomu v nevlastnich bodech

#4 16. 05. 2012 15:06

Re: Limita polynomu v nevlastnich bodech

#5 16. 05. 2012 19:49

Re: Limita polynomu v nevlastnich bodech

#6 16. 05. 2012 19:53 Příspěvek uživatele hnata byl skryt uživatelem hnata. Důvod: blbost

#7 16. 05. 2012 20:02

Re: Limita polynomu v nevlastnich bodech

#8 17. 05. 2012 09:33

Re: Limita polynomu v nevlastnich bodech

hnata napsal(a):

#9 17. 05. 2012 09:52

Re: Limita polynomu v nevlastnich bodech

hnata napsal(a):

Zápatí