Matematické Fórum

Hnykda · 16. 05. 2012 19:41

Ahoj,
čeká mě maturita z fyziky a u proudění kapalin furt nemůžu přijít na princip měření tlaků z výšek hladin proudění kapaliny v rourách o různém průřezu.

Je mi jasné, že v užším průřezu musí být kinetická energie větší než potenciální (ZZE). Je mi jasná rovnice kontinuity. Problém mám zkrátka v tom, co "nutí" kapalinu v užším průřezu výš (h1) než v průřezu širším (h2):

Co je to ten "tlak". Jak si mám vysvětlit tlak v proudící kapalině (kromě definice p=F/S). Vede mě to vždy špatnou cestou - když na sebe budu stříkat vodu z úzké hadice, bude mě to bolet víc, než z hadice o širším průřezu (samozřejmě za předpokladu stejného průtoku) - to je špatná úvaha, ale jinou nemůžu najít.

Díky

rleg · 16. 05. 2012 20:27

↑ Hnykda:

Ahoj,
myslím, že Bernoulliho rovnice by to mohla vysvětlit
$\frac12\rho v^2+h\rho g +p = konst$
po úpravách mi vyšlo
$v_1^2-v_2^2=2g(h_2-h_1)$

tedy pokud je $v_1<v_2$ - což by mělo, protože tam je větší průměr - výjde záporné číslo a tedy musí platit, že $h_1>h_2$

Hnykda · 17. 05. 2012 09:36

Tu samozřejmě znám a vycházím z ní, ale nějak si to nemůžu odůvodnit. Předpokládám, že vycházíš z tohoto:

$\frac12\rho v_1^2+h_1\rho g +p_1 =\frac12\rho v_2^2+h_2\rho g +p_2$

jak to ted upravit do toho tvaru výše? Vždyť těch tlaků p1 a p2 se jen tak nezbavím.

A pomohlo by mi, kdyby mi někdo byl ochotný vysvětlit, jak si mám vysvětlit ten tlak. V zúženém konci je nižší tlak - znamená to, že když bych tam na nějakou příčku zavěsil siloměr s nějakým kalíškem na konci, ukazoval by menší hodnotu, než to samé zařízení v trubici o širším průřezu?

LukasM · 17. 05. 2012 10:02 — Editoval LukasM (17. 05. 2012 10:04)

↑ Hnykda:
Pokud tomu dobře rozumím, tak tlaků p1 a p2 se právě zbavit nechceš, protože to jsou právě ty členy, které jsou zodpovědné za ten rozdíl hladin. To h1 a h2 nejsou výšky hladin v těch trubičkách. I když tam žádné trubičky nebudou, stále tam bude rozdíl tlaků, a to i bez vnějšího gravitačního pole. Doporučuji z toho ten tíhový člen vyhodit, a vycházet ze vztahu
$\frac12\rho v^2+p = konst$ .

Tam máme dva členy - dynamický tlak a statický. Ten statický odpovídá síle, jakou kapalina působí na stěnu (na jednotku plochy). Dynamický je kinetická energie objemové jednotky kapaliny. Pak už je to jasné. Ty malé trubičky tam hrají roli jen jako měřič tlaku (statického) - čím větší síla na ně dole tlačí, tím výše je vytlačí. Vůbec tam nemusí být, mohl bys tam třeba mít jen díry ucpané nějakou volnou (ale těsnící) zátkou, kterou budeš držet prstem (a sílu pak poznáš podle odporu té zátky).

Ten vyhozený gravitační člen by hrál roli v případě, že by potrubí nebylo vodorovně, ale vedlo by třeba z přízemí do patra. Pak je jasné proč tam je - a vidět to je hezky když se voda zastaví (v=0). Pak bude zřejmě dole větší tlak než nahoře, protože ta voda v potrubí něco váží - a ta moje zjednodušená rovnice už by neplatila.

Hnykda · 17. 05. 2012 10:13

Už je to jasnější, děkuji.

Chápu, že ty trubičky tam ani nemusejí být. Jak by se ale dal vyjádřit tlak pomocí těch výšek v těch trubičkách?

LukasM · 17. 05. 2012 10:22 — Editoval LukasM (17. 05. 2012 10:25)

↑ Hnykda:
To by mělo být jasné. Mám malou trubičku, ve které voda vystoupá do výšky h. Hmotnost té vody je $m=V\rho=Sh\rho$ , kde S je průřez trubičky. Kdybych měl dole nějakou ucpávku, tak na ní bude působit síla $mg=Sh\rho g$ .
V našem případě tam ucpávka není, ale zespoda tlačí nějaká síla úměrná tomu tlaku - její velikost je tedy $Sp$ . A pokud to má být v rovnováze (tedy sloupeček nemá ani stoupat ani klesat), musí být obě síly stejné. Proto $Sh\rho g=Sp$ , a tedy $h=\frac{p}{\rho g}$ .

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Po dosazení do Bernoulliho rovnice pak dostaneme $v_1^2-v_2^2=2g(h_2-h_1)$ , tedy totéž co píše výše rleg. Dostaneme to ale z naprosto jiných důvodů.

rleg · 17. 05. 2012 11:02

Tak a teď je ze mě úplný kůň, vypadá to, že jsem to původně myslel špatně, ale vyšel mi stejný výsledek jako teď

člen $h\rho g$ , pokud jsem to pochopil správně, je statický tlak a uplatní se, pokud se potrubí zvedá, nebo klesá. Jestliže tedy je potrubí ve vodorovné poloze, tak h1=h2 a tudíž tento člen vypadne a zůstane nám pouze
$\frac12\rho v_1^2 +p_1 =\frac12\rho v_2^2+p_2$ - tedy tlak dynamický a tlak geometrický.

Dále bych člen p upravil jako $p=\frac{F}{S}=\frac{mg}{S}=\frac{V\rho g}{S}=\frac{Sh\rho g}{S}=h\rho g$ .

Čili z toho vznikne $\frac12\rho v_1^2 +h_1\rho g =\frac12\rho v_2^2+h_2\rho g$
$\frac12\rho v_1^2 -\frac12\rho v_2^2 =h_2\rho g-h_1\rho g \nl \frac12\rho (v_1^2 - v_2^2)=\rho g(h_2-h_1) \nl v_1^2-v_2^2=2g(h_2-h_1)$

LukasM: Díky za ujištění :o)