Matematické Fórum

budak · 20. 09. 2008 17:45

Zdravím, přes prázdniny jsem uplně zapoměl jak se dělá Lineární lomená funkce. Mohl by mi někdo poradit?
Mám příklad
$y=\frac{2x+1}{x-3}$

Vím akorát : D(f)= R -(3)
Díky moc za všechny rady

lukaszh

↑ budak:
Záleží od toho, čo myslíš pod "robi? funkciu" :-) Ak myslíš priebeh funkcie, tak treba urči? definičný obor a obor hodnôt. Ďalej extrémy, kde pre "podozrivé" body na extrémy platí $\frac{\textrm{d}y}{\textrm{d}x}=0$ . Keďže grafom danej lomenej funkcie je hyperbola treba urči? asymptoty $a\,:\,\, y=kx+q$ , kde $k=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{x}$ a $q=\lim_{x\rightarrow\infty}(f(x)-kx)$ . Potom zistíš, či je funkcia sudá, lichá, prostá, periodická, neperiodická atd... Skrátka, postupuješ podľa pravidiel pri určovaní priebehu funkcie.

budak · 20. 09. 2008 18:24

spíše udělat graf a věci kolem.. Nějak jsem z toho od vás nic nepochopil.. Sudá lichá konkávní atd. to chápu. Spíše mi jde o to jak se dostat ke grafu. Díky

Pavel Brožek · 20. 09. 2008 19:23

↑ budak:

Pokud máme lineární lomenou funkci $f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$ , kde $ad-bc\neq0$ a $c\neq0$ (aby to bylo vůbec zajímavé), pak můžeme upravovat:

$f(x)=\frac{ax+b}{cx+d}=\frac{\frac ac(cx+d)-\frac {ad}c+b}{cx+d}=\frac ac+\frac {-\frac {ad}c+b}{cx+d}=\frac ac+\frac {\,\frac {bc-ad}{c^2}\,}{x+\frac dc}=\frac ac+\frac {\,\frac {bc-ad}{c^2}\,}{x-(-\frac dc)}$

Z tohoto výrazu je zřejmé, že graf funkce f získáme posunutím grafu funkce $\frac 1x$ o $-\frac dc$ ve směru kladné osy x, poté přenásobením číslem $\frac {bc-ad}{c^2}$ (pokud je toto číslo záporné, pak se graf "převrátí" podle osy x) a nakonec posunutím o $\frac ac$ ve směru kladné osy y.

Je také zřejmé, že $\mathsf{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-\frac dc\}$ . Protože čitatel zlomku $\frac {bc-ad}{c^2}$ je nenulový, tak funkce nikdy nenabývá hodnoty $\frac ac$ . Obor hodnot funkce tedy bude $\mathsf{H}_f=\mathbb{R}\setminus\{\frac ac\}$ .

Toto nejsou věci, které by sis musel pamatovat, stačí jen vědět jak lineární lomenou funkci upravovat, abychom ji dostali do tvaru, z kterého jsou tyto věci zřejmé. Zkus upravit tu tvoji funkci, jestli se ti to nepodaří, můžu ten postup rozepsat konkrétně pro ni.

martanko · 20. 09. 2008 20:06

↑ budak:
lukaszh ti pise dobre.. ak vies kde je funkcia parna, neparna, periodicka, kde ma inflexne body, kde je konkavna konvexna, aky je jej definicny obor, obor hodnot .... atd. tak na zaklade toho vies zostrojit pomerne presny graf danej funkcie :) ono nie vzdy je to lahke nakreslit ten graf..ako napr $x^2$ .. to uz robis z hlavy.. ak ti neni nieco jasne treba to dostudovat

halogan · 20. 09. 2008 23:58

Misto pouzivani a, b, c,d jako Brozek (coz je samozrejme spravne) na to jdu jinak. Nezarucuji, ze to je 100 % spolehlive.

Napred si urcim Df. Ze jmenovatele urcis, ktera hodnota tam nepatri a tuto nemuzes na X pouzit. Tim padem tam se "posune" osa y, protoze to dane x neni v Df.

Co se tyce y, tak je to to podobny posun. Ale o kolik? Jednoduse spocitame "limitu" dane funkce. Zde nam vychazi 2, takze dvojky to nenabyde, takze do te se posune osa x.

Pocitam to takhle, kdyz si nevzpomenu na nic jineho.

budak · 21. 09. 2008 11:33

Mohl by mi někdo prosím ukázat na tom konkrétním příkladu v prvním příspěvku? :( Od včera si s tím lámu hlavu a prostě né a ne. Díky moc

halogan · 21. 09. 2008 11:35

x != 3, takze primka rovnobezna s osou y a prochazejici bodem 3 na ose x je prvni. Druha je dana predpisem y = 2.

Pavel Brožek · 21. 09. 2008 11:49

↑ budak:
Nebo tím postupem co jsem uvedl já:

$y=\frac{2x+1}{x-3}=\frac{2(x-3)+7}{x-3}=2+\frac{7}{x-3}$

Je to tedy funkce $\frac 1x$ posunutá o 3 "doprava", přenásobená číslem 7 a posunutá o 2 "nahoru". Nejdříve sestrojíš asymptoty a poté je asi vhodné zvolit si dva body (jeden nalevo a druhý napravo od svislé asymptoty), pro které spočteš funkční hodnotu. Graf vypadá takto (červeně jsou vyznačené asymptoty):

Magicmaster

↑ halogan:

[s]Mohl byste objasnit, co myslíte tou "limitou" funkce? Limita této fce neexistuje a jednostranné jsou $\pm\infty$ [/s]

Edit: Už jsem si to uvědomil. Limitu je třeba udělat pro x jdoucí k nekonečnu. Pardon

Matematické Fórum

#1 20. 09. 2008 17:45

Lineární lomená funkce

#2 20. 09. 2008 17:53 — Editoval lukaszh (20. 09. 2008 17:55)

Re: Lineární lomená funkce

#3 20. 09. 2008 18:24

Re: Lineární lomená funkce

#4 20. 09. 2008 19:23

Re: Lineární lomená funkce

#5 20. 09. 2008 20:06

Re: Lineární lomená funkce

#6 20. 09. 2008 23:58

Re: Lineární lomená funkce

#7 21. 09. 2008 11:33

Re: Lineární lomená funkce

#8 21. 09. 2008 11:35

Re: Lineární lomená funkce

#9 21. 09. 2008 11:49

Re: Lineární lomená funkce

#10 17. 05. 2012 13:52 — Editoval Magicmaster (17. 05. 2012 13:56)

Re: Lineární lomená funkce

Zápatí