Matematické Fórum

Ani jsem se pak dal nedival, ale ten postup neni dobre. Urceni parametrickeho zapisu rovin je mnohem jednodussi, nez jak to delas, tvuj zpusob neni dobre. Rovinu nemuzes urcite jednim smerovym vektorem, musis mit dva linearne nezavisle a nebo rovinu urcit pomoci  normaloveho vektoru. Kazdopadne potrebujes dva parametry, tak si to tam svihnes nejak pekne, at tam nemas zlomky:
pro rovinu alfa:
x=t
y=s
z=2t-s-1
Parametrickych vyjadreni je nekonecne mnoho a vsechny jsou jednoznacne, takze je dobre si ty parametry volit vyhodne. K temto parametrickym vyjadrenim jeste musime pridat nektery bod, ktery lezi v rovine, takze treba [0,0,-1]. Rovina tedy bude parametricky jako:
alfa={[t,s,-1+2t-s-1], t,s jsou realna cisla}
Podobne to provedes pro betu.
K te prusecnici, mas dve roviny zapsany obecne, coz jsou dve rovnice o trech neznamych, takze kdyz to budes resit jako soustavu rovnic, tak se stane jedna ze tri veci:
1) soustava nema reseni -> roviny jsou rovnobezne, nemaji prusecnici
2) soustava ma nekonecne mnoho reseni se dvema parametry -> roviny jsou rovnomerne splyvajici
3) soustava ma nekonecne mnoho reseni s jednim parametrem -> roviny maji prusecnici vyresis tu soustavu a vsechny tri nezname bys mel mit vyjadrene pomoci toho parametru a to bude hledana primka v parametrickem vyjadreni

↑ miso16211:
Rovina je jednoznacne urcena dvema vektory, ktere v ni lezi a bodem. Techto kombinaci dvou vektoru existuje nekonecne mnoho, ale musi oba lezet v te rovine. Parametricky si teda rovinu muzes vyjadrit tak, ze si vezmes obecny bod teto roviny, treba nejake X=[a,b,c]. To ze tento bod bude lezet v dane rovine znamena, ze bude odpovidat rovnici roviny . Dosadis do te rovnice a vyjde ti jedna promenna zavisla na zbylych dvou: . Takze nas obecny bod X ma souradnice [a,b,2a-b-1]. Bod X ale muzeme zapsat i jinak. Z vyjadreni bodu X se daji vytahnout dva vektory, kazdy pro jednu neznamou tedy pro a a b: u=(1,0,2), v=(0,1,-1) a zbyva nam tam bod napr. Y=[0,0,-1]. Takto mame urcenou rovinu dvema vektory a bodem, ktere v ni lezi. Ty vektory mohou byt jine, to bude zaleyet na tom, jak si je zvolis ale po dosazeni do rovnice roviny ti vzdy musi vyjit jedna ta souradnice zavisla na tech dvou ostatnich, musi ta rovina byt popsatelna dvema vektory a bodem. Volba bodu je take libivolna, pokud ten bod lezi v dane rovine. Pokud bys prechazel zpetne od parametrickeho vyjadreni k obecnemu, tak si staci spocitat vektorovy soucin tech dvou vektoru a dostanes normalovy vektor roviny.

Promin, ale me to nebavi po tobe kontrolovat, zvlast, kdyz neposlouchas moje rady.

pre hocijaký bod patiraci rovine platí [2x;-y;-2x+y+1]

neplati, zkus si ty svoje tri body dosadit do rovnice roviny a uvidis, ze tam nektere nelezi. Na nalezeni prusecnice rovin jsem ti tu uz navod psal nehodlam to psat znovu, protoze je to evidentne jako hazet perly svinim. Procti si ty moje dva prispevky a cemu nerozumis na to se klidne zeptej. Samozrejme, ze by sla ta prusecnice hledat i parametricky, tak, jak to delas ty, ale je to zbytecne zesloziteni, protoze prusecnici muzeme hledat bez parametrizovani obou rovin.

↑ miso16211: Ahoj, najrýchlejšie je určiť dva spoločné body, tie musia bezvadne vyhovovať obom rovniciam
z prvej vyjadrim z=2x-y-1 a dosadím do druhej

x+y+2*(2x-y-1 ) -3=0
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x% … ;t=mfftb01
ypsilon je závislé na x
y=5*(x-1)
zvolím xA= 1 a xB =2 a vypočítam ypsilony
yA=0, yB= 5,
a potom zA=2x-y-1=2*1-0-1=1
zB=2*2-5-1=-2 a mám dva body ktoré ležia v oboch rovinách

A(1,0,1)  B(2,5,-2)

overím ešte ...
http://www.wolframalpha.com/input/?i=2* … ;t=mfftb01

a mám dva body v priestore ktoré použijem na smerový vektor atd.

Ahoj↑ miso16211:,
Tu mas jednu metodu ( velmi intuitivnu a kratku) na riesenie tvojho problemu.
Ako prve okamzite vidime ze priesecnik dvoch  rovin urcuje priamku (preco?)
Priesecik splnuje tento system


a ekuivalentne mame



vyberme z ako parameter

Preto mame



To znamena, ze




Geometricka interpretacia: ide o priamku prechadzajucu bodom a so smerovym vektorom

↑ miso16211:
to je vdaka nahradeniu druhej rovnici  rovnicou "rovnica druheho riadku minus 2 x rovnica prveho riadku"
To sa moze pouzit preto,lebo vtedy prve rovnice , a nove  rovnice maju to iste riesenie.



Neviem, ktore z tvojich pokusov riesenia treba vybrat a posudit... 

Radim ti prestudovat detailne to co som dal. Lebo ak ho dobre asimilujes;mozes ho casto pouzit.

↑ vanok:

a za z si môžeme dosadiť hocičo? keď už mame parametricku rovnicu priesečnice (priamky) .


a ako by som mohol tak "intuitivne" vypočítať parametrickú rovnicu roviny?

ja to robim tak, že si vytvorím dva nelineárne vektrory, cez skalárny súčin a potom iba jeden bod. Dá sa to jednoduchšie? Nevidím prečo by to malo byť zložite, alebo zdĺhave riešenie. A neviete poradiť kde by sa to dalo podrobne preštudovať? (AJ kniha nejaka fajnová, otravovat z analyzou moderatorov a iných sa mi nechce :D)

↑ miso16211:,
Tu mas jedno pdf, aby si videl, ako sa robila analyticka geometria na zaciatku 20teho storocia.
Uvidis, ze ide o zaujimave citanie.