Matematické Fórum

swis · 19. 05. 2012 10:09

Ahoj, poradí mi někdo s tím to příkladem? Mám daný př. Lineární zobrazení T : $V4(R)\Rightarrow V3(R)$ je urceno predpisem
$T(x) = (2x_{1}+x_{2}+x_{4}, 3x_{1}-x_{2}+x_{3}+5x_{4},4x^{1}-x_{3} -x_{4})$
a) Urcete všechny vektory $x\in V4(R)$ , které se v zobrazení T zobrazí na vektor
$y=(1,0,1)$ . Udělám si nejprve matici z daneho zobrazení , ale co pak dal? Dekuji

Sulfan · 19. 05. 2012 22:27 — Editoval Sulfan (20. 05. 2012 18:48)

Ahoj,
ve skutečnosti hledáme všechny vzory vektoru $\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , tj $T^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Možností jak pokračovat je několik, uvedu dvě z nich:

1/ řešit soustavu lineárních algebraických rovnic:

$T\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ x_{3}\\ x_{4} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 2x_{1}+x_{2}+x_{4}\\ 3x_{1}-x_{2}+x_{3}+5x_{4}\\ 4x_{1}-x_{3}-x_{4}\\ \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

$2x_{1}+x_{2}+x_{4}=1$
$3x_{1}-x_{2}+x_{3}+5x_{4}=0$
$4x_{1}-x_{3}-x_{4}=1$

2/ sestavit si matici zobrazení ve standardních bázích $\mathbb{T}$

a potom bude platit, že množina hledaných vzorů splňuje:

$\mathbb{T}\cdot\overrightarrow{x}=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

Edit: Abych někoho nezmátl, zápis $T^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ v tomto případě značí množinu $\{ \overrightarrow{x} \in \mathbb{R}^{4} | T(\overrightarrow{x})=\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\}$ .

swis · 19. 05. 2012 22:50

Moc dekuji za pomoc, jen se chci zeptat jeste, vyresila jsem linearni soustavu, musim si urcit parametr,
$x_{4}=2t , x_{3}= -2-5t , x_{2}= 2+4t , x_{1}= -3$ a to je vysledek, ktery hledam??

Sulfan · 20. 05. 2012 14:59 — Editoval Sulfan (20. 05. 2012 15:00)

↑ swis: Jseš si jístá tím řešením soustavy, že je korektní? Už při dosazení do první rovnice mi ty výsledky nesedí.

swis · 20. 05. 2012 15:47

jo, mas pravdu, mam to spatne, nejak ted nvm, jak jsem vcera k tomu vysledku vysla:D ...takze mi vyslo: $x_{1} = -5/9t +2/9 , x_{2}= 1/9t + 5/9, x_{3}= -29/9t - 1/9, x_{4}= t$

Sulfan · 20. 05. 2012 18:35

↑ swis: Ano, tak je to správně. Výsledkem jsou tedy všechny vektory, splňující:

$\{ \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{pmatrix} \in \mathbb{R} ^{4} \left | x_{1} = -5t/9 +2/9 , x_{2}= t/9 + 5/9, x_{3}= -29t/9 - 1/9, x_{4}= t, \forall t \in \mathbb{R} \right \}$

Znáš lineární obal? Výsledek by se také dal zapsat pomocí vektoru + lineárního obal z koeficientů před t.

swis · 20. 05. 2012 18:45

Dekuji moc, za vyreseni prikladu:).

Matematické Fórum

#1 19. 05. 2012 10:09

lineární zobrazení a určení vektorů

#2 19. 05. 2012 22:27 — Editoval Sulfan (20. 05. 2012 18:48)

Re: lineární zobrazení a určení vektorů

#3 19. 05. 2012 22:50

Re: lineární zobrazení a určení vektorů

#4 20. 05. 2012 14:59 — Editoval Sulfan (20. 05. 2012 15:00)

Re: lineární zobrazení a určení vektorů

#5 20. 05. 2012 15:47

Re: lineární zobrazení a určení vektorů

#6 20. 05. 2012 18:35

Re: lineární zobrazení a určení vektorů

#7 20. 05. 2012 18:45

Re: lineární zobrazení a určení vektorů

Zápatí