Matematické Fórum

fafi · 19. 05. 2012 15:14

Mezi kořeny kvadratické rovnice $x^{2}-10x+16$ vložte 4 čísla tak,aby spolu s vypočtenými kořeny vzniklo šest následujících členů aritmetické posloupnosti, vím, že $x_{1}=2$ a $x_{2}=8$ , jak postupovat dál?

Siroga · 19. 05. 2012 15:28

$x_{1}=a_1$ , $x_{2}=a_6$ , hledame $a_2$ , $a_3$ , $a_4$ , $a_5$

Sulfan · 19. 05. 2012 15:28

Vyšel bych z definice aritmetické posloupnosti: $(\exists d \in \mathbb{R})(a_{n+1}=a_{n}+d)$ , to znamená, že hledáme 6 čísel tak, že když přičteme libovolné pevné reálné číslo k předchozímu, tak dostaneme následující. Bude to vypadat nějak takto:

$a_{1}=2$
$a_{2}=a_{1}+d=2+d$
$a_{3}=a_{2}+d=2+d+d=2+2d$
$a_{4}=a_{3}+d=2+d+d+d=2+3d$
$a_{5}=a_{4}+d=2+4d$

Víme, že šestý člen by se analogicky rovnal:

$a_{6}=2+5d$

ale taky víme, ze zadání, že se má rovnat: $a_{6}=8$

Vznikne rovnice:

$2+5d=8$
$d=1.2$

Dosazením d do $a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ dostaneme požadované hodnoty.